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請教一題數學

發表於 : 2010年 1月 30日, 22:29
HonggWei
x^1/2 +y^1/2=2009^1/2 360<X<Y  求X

這是原題 我想本題少了一個條件 即X,Y為正整數 否則會有無窮多組解
在下的想法是將兩邊平方 得  x+y+2(xy)^1/2=2009 則(xy)^1/2為正整數
令xy=k^2 則原式可寫成 x^2+2kx+k^2=2009x 
移項後  x^2+(2k-2009)x+k^2=0
則判別式 (2k-2009)^2-4k^2=(M+1/2)^2  M為正整數
配成(k-a)^2-(M+1/2)^2=c 的形式 求k的正整數解
可是我覺得我的方法很麻煩  大大們能否提供其他的作法 感恩! 

Re: 請教一題數學

發表於 : 2010年 1月 30日, 23:40
thepiano
x 和 y 的確應為正整數

360 < x < y < 2009
18 + √y < √x + √y = √2009 < 45
√y < 27
361 < y < 729

x = (√2009 - √y)^2 = y + 2009 - 14√(41y)
x 為正整數, y 必為 41 之倍數

易知 y 之可能情形為 41 * 9 或 41 * 16,此時 x = 656 或 369

所求之 x = 369

Re: 請教一題數學

發表於 : 2010年 1月 30日, 23:48
HonggWei
再次感謝琴師!