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幾題問題

發表於 : 2010年 4月 2日, 22:29
dream10
一些問題~~如附件

麻煩大大指導

謝謝

Re: 幾題問題

發表於 : 2010年 4月 3日, 18:18
thepiano
第 1 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=21361


第 2 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=18135


第 3 題
即是求 (2 + √3)^2003 + (2 - √3)^2003 除以 9 之餘數

(2 + √3)^2003 + (2 - √3)^2003
= 2[C(2003,0) * 2^2003 + C(2003,2) * 2^2001 * 3 + ......] [...... 都是 9 之倍數]
= 2^2004 + 2003 * 2002 * 2^2001 * 3 + ......
= 8^668 + 5 * 4 * 8^667 * 3 (mod 9)
≡ (-1)^668 + 5 * 4 * (-1)^667 * 3 (mod 9)
≡ 4 (mod 9)


第 4 題
原式 = (1/4)(-1/2 - 1/2 + 1 - 1/2 - 1/2 + 1 - ......)
此級數發散


第 5 題
C(200,100) = 200! / (100! * 100!) = (200 * 199 * ...... * 101) / (100 * 99 * ...... * 1)
由於要找其最大的二位數質因數
故從 97,89,83,79,73,71,67,........一路找下去
200 * 199 * ...... * 101 對於上述的質因數都只有 1 個
61 * 2 = 122
61 * 3 = 183
故所求為 61


第 6 題
不等式之左式,分子和分母同除以 x^n
分母變成 1/x^n + 1/x^(n - 1) + ...... + 1 + ...... + x^(n - 1) + x^n
然後頭尾用算幾不等式就證完了


第 7 題
設直線 AB 交圓 O 於 A 和 D 兩點,直線 BC 交圓 O 於 C 和 E 兩點
作 OF 垂直 AB 於 F

令 BD = 2x,則 BE = 6x
AF = (6 + 2x)/2 = x + 3
OF = (2 + 6x)/2 - 2 = 3x - 1
(x + 3)^2 + (3x - 1)^2 = 50
x = 2

BF = 1,OF = 5,OB = √26


第 8 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=22801


第 9 題
1800 = 2^3 * 3^2 * 5^2
以下只討論因數 2
a 必有 2^0 此因數,另可能含有 2^1, 2^2, 2^3 這些因數,同理 b 和 c 也是
故數對 (a,b,c) 關於因數 2 的組合情形有 4^3 種
但 a,b,c 三者中,最少要有 1 個須含 2^3 這個因數
而 a,b,c 均不含因數 2^3 的情形有 3^3 種
故所求 = (4^3 - 3^3)(3^3 - 2^3)(3^3 - 2^3) = 13357

Re: 幾題問題

發表於 : 2010年 4月 4日, 20:13
dream10
謝謝鋼琴兄
感恩您