求多項式(99雄中,家齊)

[M9331707]

設多項式 f(x)領導係數為1,且滿足xf(x)=(x-4)f(x)，試求多項式f(x) 。
Ans:x^4-6x^3+11x^2-6x

[八神庵]

這個跟99中二中其中一個考題很像
你用x=0,1,2,3,4代入會得到f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0
依照它的遞迴關係xf(x-1)=(x-4)f(x)
可以得知f(x)除了x=0,1,2,3為0以外其它任何點均不為0
又領導係數為1
故f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)

[thepiano]

xf(x - 1) = (x - 4)f(x) ...... (1)

x = 0，f(0) = 0
x = 4，f(3) = 0

即 f(x) 可被 x(x - 3) = x^2 - 3x 整除

令 f(x) = (x^2 - 3x)q(x)，代入 (1) 式
(x - 4)(x^2 - 3x)q(x) = x[(x - 1)^2 - 3(x - 1)]q(x - 1)
(x - 3)q(x) = (x - 1)q(x - 1)

上述步驟再玩一次，再加上 f(x) 之領導係數為 1，可得 q(x) = (x - 1)(x - 2)

f(x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)

[happier]

大家怎麼判斷最高是4次呢?