99北縣高中職

[ruby0519]

選擇1.2.10
填充2
申論1
謝謝老師

[thepiano]

第 1 題
logx (以 2 為底) = 1/2，logx (以 10 為底) = (1/2)log2 ≒ 0.1505
logy (以 3 為底) = 1/3，logy (以 10 為底) = (1/3)log3 ≒ 0.159
logz (以 5 為底) = 1/5，logz (以 10 為底) = (1/5)log5 = (1/5)(1 - log2) ≒ 0.1398
故 y ＞ x ＞ z


第 2 題
參考八神庵兄之解答
http://math.pro/db/thread-956-1-1.html


第 10 題
b^2 - 4ac ＜ 0

假設甲把方程式看成 k(x - 2)(x - 4) = 0，其中 k 不等於 a
kx^2 - 6kx + 8k = 0
b = -6k，c = 8k
b：c = (-3)：4

再假設乙把方程式看成 a(x + 1)(x - 4) = 0
ax^2 - 3ax - 4a = 0
若乙看錯 b，則 c = -4a，b^2 - 4ac = b^2 + 16a^2 ＞ 0，與題意不合
故乙看錯 c
a：b = a：(-3a) = 1：(-3)

所求 = (-6 + 12) / 1 = 6


計算與證明 1
(1) 作 AE 垂直 CD 於 E，作 BF 垂直 CD 於 F
ABCD = △ACD + △BCD = (1/2) * CD * (AE + BF)

接下來只要證明 AE + BF = CD 即可

BF = BD * sin∠BDF = AD * cos∠ADF = DE
AE + BF = CE + DE = CD


(2)
連 OP，易知 △BOP 是正三角形
∠PBD = (1/2)弧 PCAD = 105 度
DP^2 = BP^2 + BD^2 - 2 * BP * BD * cos∠PBD = 4 + 8 + 8√2 * [(√6 - √2) / 4]
DP = √6 + √2

△PBD = (1/2) * BD * DP * sin∠PDB = (1/2) * 2√2 * (√6 + √2) * (1/2) = √3 + 1

OA = OP = 2，∠AOP = 120 度，AP = 2√3
△PCA = (1/2) * AC * AP * sin∠PAC = (1/2) * 2√2 * 2√3 * [(√6 - √2) / 4] = 3 - √3

△PBD - △PCA = 2√3 - 2

[ruby0519]

老師可以請教填充第二題及證明第二題嗎
還有請問老師證明第一題的第二小題中
何以得知AD=BD呢
感激不盡
謝謝老師

[thepiano]

填充第 2 題
cosθ - 2sinθ = 3√5 / 5
sinθ + 2cosθ = 4√5 / 5

cosθ = 11√5 / 25
sinθ = -2√5 / 25

易知 C(1，0)

1 * 11√5 / 25 - 0 * (-2√5 / 25) = 11√5 / 25
1 * (-2√5 / 25) + 0 * (11√5 / 25) = -2√5 / 25


證明第 2 題
(1)
令 y = (ax^2 + x + 1) / (x^2 + x + 1)
(y - a)x^2 + (y - 1)x + (y - 1) = 0
x 為實數
(y - 1)^2 - 4(y - a)(y - 1) ≧ 0
-3y^2 + (4a + 2)y - (4a - 1) ≧ 0
把上式看成二次函數，圖形開口朝下，函數值不可能恆 ≧ 0
所以此題無解


(2)
bugmens 老師有提示
http://math.pro/db/thread-956-1-1.html


另外 AD = BD 那太顯然了，AB 、CD 是圓 O 的兩條互相垂直的直徑 ......

越接近考試要越沉住氣，不要緊張 ......
有空去廟裡拜拜，讓心靜下來，如此腦袋中才會有很多想法浮現
加油！

[ruby0519]

老師這是選擇第二題
網路的解想請教
甲y=f(x)
乙x=f^-1(y)......改寫成y=f^-1(x)
這紅色部份我覺得甲的反函數應該是x=f(y)再改寫成 y =f^-1(x)對嗎

又乙與丙對稱於x+y=0
故x=-y,y=-x代入乙
得-x=f^-1(-y)紫色部份的兩個式子相等對嗎
f(-x)=-y
y=-f(-x)

[八神庵]

什麼是反函數
你可以比較一下y=10^x與y=logx的意義
另
f^-1存在
則f(f^-1(x))=x

[ruby0519]

填充第 2 題
cosθ - 2sinθ = 3√5 / 5
sinθ + 2cosθ = 4√5 / 5

老師紅色部份您是採用旋轉矩陣的反矩陣來算
但是您何以得知它是逆時針或順時針旋轉呢
cosθ = 11√5 / 25
sinθ = -2√5 / 25

易知 C(1，0)

1 * 11√5 / 25 - 0 * (-2√5 / 25) = 11√5 / 25
1 * (-2√5 / 25) + 0 * (11√5 / 25) = -2√5 / 25

[ruby0519]

什麼是反函數
你可以比較一下y=10^x與y=logx的意義
另
f^-1存在
則f(f^-1(x))=x

您好
這兩個圖形會對稱於y=x
紅色的部份中
f^-1(x)是指x的反函數嗎
因為y=f(x)是x對應到y
那f^-1(x)不就是y對應到x
那應該等於x囉
可以指導一下嗎
一團亂

[八神庵]

什麼是反函數
你可以比較一下y=10^x與y=logx的意義
另
f^-1存在
則f(f^-1(x))=x

您好
這兩個圖形會對稱於y=x
-------我是指指數與對數互為反函數的意義---------
紅色的部份中
f^-1(x)是指x的反函數嗎
-------Yes-----
因為y=f(x)是x對應到y
那f^-1(x)不就是y對應到x
那應該等於x囉
可以指導一下嗎
--------------------------------------
f^-1存在的條件是f一對一且映成
以指數與對數來說
100=10^2....在此是y=100對應x=2(x自變y應變....對應x而變)
2=log100....在此是y=2對應x=100
所以2=log10^2.....把2改成x,底數10改成f(x),log改成f^-1(x)
所以有x=f^-1(f(x))
又100=10^log100....把100改成x,底數10改成f(x),log改成f^-1(x)
又有x=f(f^-1(x))
-------------------------------------------------------------------------
一團亂

亂是正常的
請記得函數中的x,y只是記號
真正重要的是f的意義,這樣應該就不會比較搞混.....

[thepiano]

填充第 2 題
cosθ - 2sinθ = 3√5 / 5
sinθ + 2cosθ = 4√5 / 5

老師紅色部份您是採用旋轉矩陣的反矩陣來算
但是您何以得知它是逆時針或順時針旋轉呢

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