質數與不定方程

[M9331707]

1.設n>1,證明:1+(1/3)+(1/5)+...+(1/2n-1)不是整數
2.解x^2+x=y^4+y^3+y^2+y的全部整數解
3.解3^x+4^y=5^z 的全部整數解

[thepiano]

第 1 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=33415


第 2 題
(2x + 1)^2 = 4(y^4 + y^3 + y^2 + y) + 1 = (2y^2 + y + 1)^2 - y^2 + 2y = (2y^2 + y)^2 + 3y^2 + 4y + 1

易知 y ＜ -1 或 y ＞ 2 時，(2y^2 + y)^2 ＜ (2x + 1)^2 ＜ (2y^2 + y + 1)^2
但上式不可能成立

故考慮 -1 ≦ y ≦ 2 即可


第 3 題
可先解決以下這題，不算容易，您先試試！
求 2^x + 3^y = z^2 的所有非負整數解


原題應是求所有"正整數解"
3^x + 4^y ≡ 1 (mod 3)
若 z 為正偶數，5^z ≡ 1 (mod 3)

3^x + 2^(2y) 為一完全平方數

所求僅有 x = y = z = 2 一解