113 基隆女中
版主: thepiano
Re: 113 基隆女中
計算第 2 題
(1)
A(2t - 13，t)、M(x_1，y_1)、N(x_2，y_2)
過拋物線 y^2 = 8x 上一點 M 的切線方程式為 y_1y = 4(x + x_1)
此切線和直線 x - 2y + 13 = 0 交於 A，可得 y_1t = 4(2t - 13 + x_1)
t(y_1 - 8) = 4(x_1 - 13)
同理 t(y_2 - 8) = 4(x_2 - 13)
直線 MN 的方程式為 t(y - 8) = 4(x - 13)，因 t ≠ 0，故恆過定點 (13，8)
(2)
拋物線焦點 F(2，0)
直線 AM：y_1y = 4(x + x_1) 與 y 軸交點 B(0，4x_1/y_1)
直線 BA 斜率 * 直線 BF 斜率 = (4/y_1) * (-2x_1/y_1) = -1
直線 BA 和直線 BF 垂直
同理，直線 CA 和直線 CF 垂直
A、B、C、F 四點共圓
△ABC 的外接圓恆過 F(2，0)
外接圓半徑最小時，直徑 AF 也最小
所求半徑之最小值 = F 到直線 x - 2y + 13 = 0 的距離之半 = (3/2)√5
(1)
A(2t - 13，t)、M(x_1，y_1)、N(x_2，y_2)
過拋物線 y^2 = 8x 上一點 M 的切線方程式為 y_1y = 4(x + x_1)
此切線和直線 x - 2y + 13 = 0 交於 A，可得 y_1t = 4(2t - 13 + x_1)
t(y_1 - 8) = 4(x_1 - 13)
同理 t(y_2 - 8) = 4(x_2 - 13)
直線 MN 的方程式為 t(y - 8) = 4(x - 13)，因 t ≠ 0，故恆過定點 (13，8)
(2)
拋物線焦點 F(2，0)
直線 AM：y_1y = 4(x + x_1) 與 y 軸交點 B(0，4x_1/y_1)
直線 BA 斜率 * 直線 BF 斜率 = (4/y_1) * (-2x_1/y_1) = -1
直線 BA 和直線 BF 垂直
同理，直線 CA 和直線 CF 垂直
A、B、C、F 四點共圓
△ABC 的外接圓恆過 F(2，0)
外接圓半徑最小時，直徑 AF 也最小
所求半徑之最小值 = F 到直線 x - 2y + 13 = 0 的距離之半 = (3/2)√5