113 新竹女中

[thepiano]

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第 6 題
2≦1/x＜4，1/4＜x≦1/2
8≦1/x＜16，1/16＜x≦1/8
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3≦1/y＜9，1/9＜x≦1/3
27≦1/y＜81，1/81＜x≦1/27
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所求 = [(1/2 - 1/4) + (1/8 - 1/16) + ...][(1/3 - 1/9) + (1/27 - 1/81) + ...] = (1/3)(1/4) = 1/12

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第 9 題
O(0，0)、P(1，t)，-√3 ≦ t ≦ √3，Q(x，y)，x ≧ 1
OP^2 * OQ^2 = (t^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16

OP 和 OQ 斜率相同，可得 t = y/x

(y^2/x^2 + 1)(x^2 + y^2) = 16
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 16x^2 = 0
(x^2 + 4x + y^2)(x^2 - 4x + y^2) = 0
[(x + 2)^2 + y^2 - 4][(x - 2)^2 + y^2 - 4] = 0
(x + 2)^2 + y^2 = 4 (不合，因 x ≧ 1) or (x - 2)^2 + y^2 = 4

所求為以 O'(2，0) 為圓心，半徑為 2 的圓周長 扣掉 弧AB(120度) 的長 = 4π * (2/3) = (8/3)π

[thepiano]

第 8 題
分子和分母同除以 n^3
(1/n){1 + 1/(1 + 1/n)^3 + 1/(1 + 2/n)^3 + …… + 1/[1 + (2n - 1)/n]^3}
所求 = 1/(1 + x)^3，從 0 積到 2

[v20160801]

請問填1,2,3

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第 1 題
跟 2014 AIME 第 7 題一樣


第 2 題
微分


第 3 題
定座標
C(0，0)、A(0，2√3)、B(6，0)、D(2，0)、P(2 + t，-√3t)，-2 ≦ t ≦ 0
後面 PB、2PC、PA 應是向量

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第 10 題
以 A、B、C 代之
P(A) = 1/2、P(B) = 1/3、P(C) = 1/6

P(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之機率，重複出現的略去
E(A→B→C) 表示按 A、B、C 之順序出現之期望次數

P(A→B→C) = (1/2) * [(1/3)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/3
P(A→C→B) = (1/2) * [(1/6)/(1 - 1/2)] * 1 = 1/6
P(B→A→C) = (1/3) * [(1/2)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/4
P(B→C→A) = (1/3) * [(1/6)/(1 - 1/3)] * 1 = 1/12
P(C→A→B) = (1/6) * [(1/2)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/10
P(C→B→A) = (1/6) * [(1/3)/(1 - 1/6)] * 1 = 1/15

E(A→B→C) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/3)] = 9
E(A→C→B) = 1 + [1/(1 - 1/2)] + [1/(1 - 1/2 - 1/6)] = 6
E(B→A→C) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/2)] = 17/2
E(B→C→A) = 1 + [1/(1 - 1/3)] + [1/(1 - 1/3 - 1/6)] = 9/2
E(C→A→B) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/2)] = 26/5
E(C→B→A) = 1 + [1/(1 - 1/6)] + [1/(1 - 1/6 - 1/3)] = 21/5

所求 = (1/3) * 9 + (1/6) * 6 + (1/4) * (17/2) + (1/12) * (9/2) + (1/10) * (26/5) + (1/15) * (21/5) = 73/10

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第 5 題
先畫一個正三角形，在右下角截去一個邊長 a 的小正三角形，在左下角截去一個邊長 b 的小正三角形，會得到一個五邊形，這是走 5 次、順時針轉 60 度 4 次能回到出發點的走法

令第三次走的長度是 x，則 5 次走的長度分別是 x + b、a、x、b、x + a
x = 5，a = 1，b = 1
x = 4，a = 1 ~ 2，b = 1 ~ 2
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x = 1，a = 1 ~ 5，b = 1 ~ 5

所求 = (1^2 + 2^2 + … + 5^2) / 6^5