114 竹北高中

[thepiano]

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計算第 1 題
x^2/9 + y^2/5 = 1
a = 3，b = √5，c = 2
F_1(-2，0)、Q(-9/2，0)，B(x，y)
y^2 = 5 - (5/9)x^2

x = -9/2 是橢圓的準線
作 BP 垂直 x = -9/2 於 P
則 BF_1/BP = c/a = 2/3
BP = x + 9/2，BF_1 = (2/3)x + 3，PQ = -y

QB⊥AB
QF_1^2 - BF_1^2 = BQ^2 = BP^2 + PQ^2
(5/2)^2 - [(2/3)x + 3]^2 = (x + 9/2)^2 + [5 - (5/9)x^2]
x = -21/8 or -12(不合)

B(-21/8，-(5/8)√3)

直線 L 之斜率為 √3

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第 14 題
f(x) = x^2 - x + √(2x^4 - 6x^2 + 8x + 16)
= √2{|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]}

|x - x^2|/√2 + √[(x + 2)^2 + (x^2 - 2)^2]
即 y = x^2 上一點 A(x，x^2) 到直線 y = x 之距離與到 B(-2，2) 之距離和
點 A 為 y = -x 與 y = x^2 之交點
最小值為 OB = 2√2

m = 4

-x = x^2，x = 0 or -1

所求為 (0，4) or (-1，4)

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第 6 題
如圖，上底 6，下底 1，腰長 x 之等腰梯形
紅高 = (√3/2) * 6 - x - (√3/2) * 1 = (5/2)√3 - x

((5/2)√3 - x)^2 + (5/2)^2 = x^2
x = 5/√3

三角錐之高 = √[(5/√3)^2 - (√3/3)^2] = 2√2

三角錐之體積 = (1/3) * (√3/4) * 2^2 * 2√2 = (2/3)√6

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第 13 題
z = x + yi
|z - 3i| = (z - z')/(2i)
√[x^2 + (y - 3)^2] = y
y = x^2/6 + 3/2
焦點 (0，3)，準線為 x 軸

|z + 2 - 4i| + |z - 3i| 視為 y = x^2/6 + 3/2 上一點到 (-2，4) 和 (0，3) 距離和
最小值 = (-2，4) 到 x 軸之距離 = 4

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第 10 題
定座標 D(0，0，0)、A(1，0，0)、B(1，1，0)、C(0，2，0)、P(0，0，√2)、E(0，2，√2)、F(1/2，0，√2/2)

Q 是線段 EF 上一點，可令 Q(t/2，2 - 2t，√2 - (√2/2)t)，其中 0 ≦ t ≦ 1
平面 BCP：x + y + √2z = 2

利用 Q 到平面 BCP 的距離 = (1/2)BQ，可求出 t = 0
Q(0，2，√2)，FQ = √19/2