美夢成真教甄討論區

1.數列<An>,A1=√2 +1 ,An+1= 1/(1-An) ,n=1.2.3... 由中挑出100項使其和為92-17√2
求100項之乘積

2.｜㏒X｜=aX+b有三實根,其比為1：2：3 ,求a,b

3.z=x^2對z軸轉一圈,現將一半徑為r的櫻桃放入,要不碰到底，試問r的範圍

4.現有鐵條8m,要做100個架子,架子是由3.1m , 2.3m ,1.7m鐵條組成，試問要如何截取鐵條,才能使鐵條剩下最少

謝謝

#2 畫圖可知第一個根必在0~1之間,第二,第三根必大於1
可設此三根為x=k,2k,3k
則x=k滿足-Logx=ax+b,即-Logk=ak+b------------(1)
x=2k滿足 Logx=ax+b,即 Log(2k)=2ak+b------------(2)
x=3k滿足 Logx=ax+b,即 Log(3k)=3ak+b------------(3)
(3)-(2)得 Log(3/2)=ak---------------(4)
(2)+(1)得 Log(2*k^2)=ak-------------(5)
由(4)&(5)得 k=(3^0.5)/2 (負不合) 代入(4)
得a=(2/(3^0.5))*Log(3/2) 代入 (1)
得b=-Log(3*(3^0.5)/4)

1.代進去
A_1=√2 +1 , A_2= - (1/2)√2 , A_3=2 - √2 ,A_4=√2 +1
所以3個循環一次
設A_1有x個,A_2有y個,A_3有z個
得到聯立方程式為
x+2z=92 , x-(1/2)y-z= -17 , x+y+z=100
解x,y,z

x=32 ,y=38 ,z=30

所求=(√2 +1)^32*[- (1/2)√2]^38*(2 - √2)^30=(3+2√2)/16

#3 不知道這樣做對不對,有錯請指教
題目可改成在x-y平面上,將圓C:x^2+(y-a)^2=r^2放入拋物線T:y=x^2內(內切),且圓C不可以碰到(0,0)
解聯立x^2+(y-a)^2=r^2 及 y=x^2 ,合併得 y^2+(1-2a)y+a^2-r^2=0 ,因為相切,所以D=0
即 (1-2a)^2-4(a^2-r^2)=0 ,得r^2=a-1/4>r-1/4 ,因此r>1/2 (a也會有限制a>1/2)