99松山高中

[八神庵]

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請笑納!

[八神庵]

想請教的是第17題

[ellipse]

想請教的是第17題

#17
(1)
假設f(x)=x^2(3-x)=-x^3+3x^2上的動點P為(t,-t^3+3t^2)
過P點的切線斜率=f '(x) | ( x=t) =-3x^2+6x | (x=t) =-3t^2+6t
則過O點直線且與P點相切的切線斜率為
(-t^3+2t^2-0)/(t-0)=-3t^2+6t
整理得 2t^3 - 3t^2=0 , t^2(2t-3)=0
t=3/2
當t=0時,直線L的斜率=0 (直線L與f(x)交於一點(不含原點) )
當t=3/2時,直線L的斜率= -3*(3/2)^2 +6*(3/2)= 9/4 (直線L與f(x)交於一點(不含原點) )
所以當直線L的斜率m在0~9/4之間,L與f(x)在第一象限交於2相異點
因此0<m<9/4

[thepiano]

第 17 題之 (2)
x^2(3 - x) = mx
x(x^2 - 3x + m) = 0
由根與係數關係
可令 P 之橫坐標為 t，則 Q 之橫坐標為 3 - t

△APQ = △OAQ - △OAP = 3 * [(3 - t)^2 * t - t^2 * (3 - t)] * (1/2)

(3 - t)^2 * t - t^2 * (3 - t) = 2t^3 - 9t^2 + 9t
微分可知 t = (3 - √3) / 2 時，上式有最大值 (3/2)√3

原題之答案為 (9/4)√3

[cally0119]

請問一下第17題的(1)我可不可以用x^2-3x+m=0必須有兩正根x_1,x_2.所以m>0及判別式D=9-4m>0取交集就好了?

[thepiano]

應該可以 ......

[ellipse]

請問一下第17題的(1)我可不可以用x^2-3x+m=0必須有兩正根x_1,x_2.所以m>0及判別式D=9-4m>0取交集就好了?

這題可以化為二次方程式
所以可用根與係數及判別式
若不能化為二次方程式,可能就要最早寫的方式處理