美夢成真教甄討論區

題目如附件，
請問該如何著手。謝謝

hugo 寫:題目如附件，
請問該如何著手。謝謝

#1 求(x+2/x +20)^0.5 +(x+2/x+12)^0.5=2x----------------(*)的所有實數解
sol:
令a=(x+2/x +20)^0.5 ,b=(x+2/x+12)^0.5
則a^2-b^2=(a+b)(a-b)=8 -------------(1)
且a+b=2x---------------(2)
將(2)代入(1)得 a-b=4/x---------------(3)
(2)+(3)得 2a=2x+4/x ,a=x+2/x =(x+2/x +20)^0.5 (>0)
令y=x+2/x (>0),則y=(y+20)^0.5
=> y^2-y-20=0 ,(y-5)(y+4)=0 ,y=5或-4(不合)代入原式(*)
(5+20)^0.5 + (5+12)^0.5=2x
=>x=(1/2)*[5+(17)^0.5]

第 2 題
2^n 除以 7 的餘數 = 2，4，1，2，4，1，......
3 個一循環

n^2 除以 7 的餘數 = 1，4，2，2，4，1，0，1，4，2，2，4，1，0，......
7 個一循環

[3，7] = 21
每 21 個 n 為一組，每組中的第 2，4，5，6，10，15 個，會使 2^n - n^2 ≡ 0 (mod 7)

2010 / 21 = 95 ...... 15
6 * (95 + 1) = 576

但當
n = 2，2^n - n^2 = 0
n = 4，2^n - n^2 = 0

故最後答案是 575

鋼琴兄請問一下，第二題答案是575。可是我看不出來式子那裡有問題

這題有陷阱，T 中只有 2009 個元素

因為當
n = 2，2^n - n^2 = 0
n = 4，2^n - n^2 = 0

所以答案是 575