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排列鉏合~2

發表於 : 2009年 5月 2日, 21:56
armopen
下面幾個都是常見問題,但我懷疑考卷上的答案是不是錯了,麻煩大家幫忙看看,謝謝
1. 6 件東西,分給甲、乙、丙 3 人,試依下列條件求有幾種分法?
(1) 東西相同,每人至少得 1 件
(2) 東西不同,每人至少得 1 件
(3) 東西不同,甲只得 1 件,乙至少得 2 件,丙至少得 2 件
考卷上答案: 15, 1806, 245

以下是我的解法:
(1) 相當於是線性方程式 a + b + c = 6 的正整數解個數 H(3,3) = C(5,3) = 10
(2) 用反面作法,全部 - (甲或乙或丙或丁得 0 件) = 3^6 - [C(3,1)*2^6 - C(3,2)*1^6 + C(3,3)*0^6] = 5040
(3) 物先依照 (3,2,1) 作分堆,再分給人: C(6,1)*C(5,3)*C(2,2)*3! = 120

2. 設有同樣大小的旗子 6 面,其中 3 面是藍色, 2 面是白色, 1 面是紅色;今只取 4 面,任意排定順序,升上旗
竿表示 1 種信號,試問可排出幾種不同信號?
考卷上答案是 36

以下是我的解法:
先將題目分類 B: 3, W:2, R:1。 討論異同情形的排列數
3 同 1 異: C(1,1)*C(2,1)*4!/3! = 8
2 同 2 同: C(2,2)*4!/(2!2!) = 6
2 同 2 異: C(2,1)*C(2,2)*4!/2! = 24
所以共有 38 種。

3. 11^12 除以 10^3 的餘數為?
考卷上答案 481

以下是我的解法:
由二項式定理知 11^12 = (1 + 10)^12 = C(12,0) + C(12,1)*10 + C(12,2)*10^2 + (必定被 10^3 整除的項)
所以餘式是 C(12,0) + C(12,1)*10 + C(12,2)*10^2 = 6721 除以 1000 的餘數 721。

Re: 排列鉏合~2

發表於 : 2009年 5月 3日, 06:48
thepiano
第 1 題
(2) 您的算式對,答案應是 540
(3) 您的答案對,算式應是 6 * [C(5,3) * C(2,2) * 2]

其餘您的解法都沒問題!