排列鉏合~2
發表於 : 2009年 5月 2日, 21:56
下面幾個都是常見問題，但我懷疑考卷上的答案是不是錯了，麻煩大家幫忙看看，謝謝
1. 6 件東西，分給甲、乙、丙 3 人，試依下列條件求有幾種分法？
(1) 東西相同，每人至少得 1 件
(2) 東西不同，每人至少得 1 件
(3) 東西不同，甲只得 1 件，乙至少得 2 件，丙至少得 2 件
考卷上答案： 15, 1806, 245
以下是我的解法：
(1) 相當於是線性方程式 a + b + c = 6 的正整數解個數 H(3,3) = C(5,3) = 10
(2) 用反面作法，全部 - (甲或乙或丙或丁得 0 件) = 3^6 - [C(3,1)*2^6 - C(3,2)*1^6 + C(3,3)*0^6] = 5040
(3) 物先依照 (3,2,1) 作分堆，再分給人： C(6,1)*C(5,3)*C(2,2)*3! = 120
2. 設有同樣大小的旗子 6 面，其中 3 面是藍色， 2 面是白色， 1 面是紅色；今只取 4 面，任意排定順序，升上旗
竿表示 1 種信號，試問可排出幾種不同信號？
考卷上答案是 36
以下是我的解法：
先將題目分類 B: 3， W:2， R：1。 討論異同情形的排列數
3 同 1 異： C(1,1)*C(2,1)*4!/3! = 8
2 同 2 同： C(2,2)*4!/(2!2!) = 6
2 同 2 異： C(2,1)*C(2,2)*4!/2! = 24
所以共有 38 種。
3. 11^12 除以 10^3 的餘數為？
考卷上答案 481
以下是我的解法：
由二項式定理知 11^12 = (1 + 10)^12 = C(12,0) + C(12,1)*10 + C(12,2)*10^2 + (必定被 10^3 整除的項)
所以餘式是 C(12,0) + C(12,1)*10 + C(12,2)*10^2 = 6721 除以 1000 的餘數 721。
1. 6 件東西，分給甲、乙、丙 3 人，試依下列條件求有幾種分法？
(1) 東西相同，每人至少得 1 件
(2) 東西不同，每人至少得 1 件
(3) 東西不同，甲只得 1 件，乙至少得 2 件，丙至少得 2 件
考卷上答案： 15, 1806, 245
以下是我的解法：
(1) 相當於是線性方程式 a + b + c = 6 的正整數解個數 H(3,3) = C(5,3) = 10
(2) 用反面作法，全部 - (甲或乙或丙或丁得 0 件) = 3^6 - [C(3,1)*2^6 - C(3,2)*1^6 + C(3,3)*0^6] = 5040
(3) 物先依照 (3,2,1) 作分堆，再分給人： C(6,1)*C(5,3)*C(2,2)*3! = 120
2. 設有同樣大小的旗子 6 面，其中 3 面是藍色， 2 面是白色， 1 面是紅色；今只取 4 面，任意排定順序，升上旗
竿表示 1 種信號，試問可排出幾種不同信號？
考卷上答案是 36
以下是我的解法：
先將題目分類 B: 3， W:2， R：1。 討論異同情形的排列數
3 同 1 異： C(1,1)*C(2,1)*4!/3! = 8
2 同 2 同： C(2,2)*4!/(2!2!) = 6
2 同 2 異： C(2,1)*C(2,2)*4!/2! = 24
所以共有 38 種。
3. 11^12 除以 10^3 的餘數為？
考卷上答案 481
以下是我的解法：
由二項式定理知 11^12 = (1 + 10)^12 = C(12,0) + C(12,1)*10 + C(12,2)*10^2 + (必定被 10^3 整除的項)
所以餘式是 C(12,0) + C(12,1)*10 + C(12,2)*10^2 = 6721 除以 1000 的餘數 721。