美夢成真教甄討論區

n是正整數，a為有理數非整數，0<a<2000，滿足" a^2的小數部分=(n!/2000)的小數部分 "的數對(a,n)有多少?

另外有一題想問答案
在坐標平面上x^2+axy+y^2=1的點，都滿足x^2+y^2 <= 9/4，則a的範圍為?
解答是[-2/3,2/3]嗎?
我算出[-10/9,10/9]
感謝回答。

happier 寫:n是正整數，a為有理數非整數，0<a<2000，滿足" a^2的小數部分=(n!/2000)的小數部分 "的數對(a,n)有多少?

另外有一題想問答案
在坐標平面上x^2+axy+y^2=1的點，都滿足x^2+y^2 <= 9/4，則a的範圍為?
解答是[-2/3,2/3]嗎?
我算出[-10/9,10/9]
感謝回答。

您算得沒錯!
先回答第二題,這題是某年大學指考的題型

先做坐標轉換
A'+C'=1+1=2----------(1)
A'-C'=+或-[(1-1)^2+a^2]^0.5 (正負與a同號)
=+或- |a| =a ------------(2)
(1)+(2)得 2A'= 2+a ,A'=(2+a)/2
(1)-(2)得 2C'=2-a ,C'=(2-a)/2

x^2+axy+y^2=1坐標轉換後新的方程式為
[(2+a)/2]*X^2+[(2-a)/2]*Y^2=1--------------(*)
X^2/[2/(2+a)] + Y^2/[2/(2-a)]=1要在x^2+y^2 <= 9/4=(3/2)^2內
只有可能是圓或橢圓,所以2/(2+a) >0 且2/(2-a) >0 得-2<a<2-------------(1)
又[2/(2+a)]^0.5<=3/2 且[2/(2-a)]^0.5<=3/2 [(*)若是圓,半徑<=3/2 ;(*)若是橢圓,長軸/2<=3/2]
整理得-10/9<=a<=10/9-------------------(2)
由(1)&(2)得-10/9<=a<=10/9

考試看到這種題目應該是直接跳過吧？

2000 = 2^4 * 5^3
2000 只含 2 和 5 這二個質因數，故 n!/2000 為有限小數，a 必為有限小數

15! = 2^11 * 5^3 * ......
n ≧ 15，n!/2000 為整數，無解

n = 1，n!/2000 = 0.0005，平方數之末位若為 5，則末二位必為 25，無解

n = 2，n!/2000 = 0.0010，平方數之末位若為 0，則末二位必為 00，無解

n = 3，n!/2000 = 0.0030，平方數之末位若為 0，則末二位必為 00，無解

n = 4，n!/2000 = 0.0120，平方數之末位若為 0，則末二位必為 00，無解

n = 5，n!/2000 = 0.06，平方數之末位若為 6，則末二位必為 16，36，56，76，96 其中之一，無解

n = 6，n!/2000 = 0.36
a = [a] + 0.6
a^2 = [a]^2 + 1.2[a] + 0.36
[a] = □□□0 or □□□5，共 400 個

a = [a] + 0.4
a^2 = [a]^2 + 0.8[a] + 0.16
[a] = □□□4 or □□□9，共 400 個

n = 7，n!/2000 之小數部份 = 0.52，平方數之末位不可能為 2，無解

n = 8，n!/2000 之小數部份 = 0.16
做法同 n = 6，共 800 個

n = 9，n!/2000 之小數部份 = 0.44
做法同 n = 6，共 800 個

n = 10 ～ 14，n!/2000 均為一位小數，理由同 n = 2 ～ 4，無解

所求 = 2400