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請教2003TRML接力賽R2-3
發表於 : 2012年 5月 31日, 10:57
由 wind2xp
在黑板上寫下1,2,...,2003
每次允許抹去若干數,同時寫上這些數之和除以13的餘數
數次後只留下兩數 一個是106另一個為?
答案:12
我的想法是抹去總和為13的倍數的數串
但很明顯是錯的
請高手賜教 感謝
Re: 請教2003TRML接力賽R2-3
發表於 : 2012年 5月 31日, 11:36
由 ellipse
wind2xp 寫:在黑板上寫下1,2,...,2003
每次允許抹去若干數,同時寫上這些數之和除以13的餘數
數次後只留下兩數 一個是106另一個為?
答案:12
我的想法是抹去總和為13的倍數的數串
但很明顯是錯的
請高手賜教 感謝
令所求為x (0<=x<=12)
假設S=1+2+.........+2003
mi表示第i次所抹掉若干數字的和,
ri表示mi除以13後的餘數
Si表示第i次所抹掉的數後,黑板剩下數字的和
i=1,2,3,.....
由同餘定理可知
S=1+2+3+.....+2003=2003*2004/2≡1(mod3)
S=S1+m1≡S1+r1
≡S2+m2≡S2+r2
(進行幾次後)
≡106+x≡1(mod13)
≡2+x
因為0<=x<=12
所以x=12