101 復興高中一題

[thepiano]

是否存在三個正整數，其中任兩數的和除以第三數的餘數都是 1？
這題蠻有趣的

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(1) 三數相同，不可能

(2) 三數中有兩數相同
(i)
設三數為 a，a，a + b (a 和 b 為自然數，a 不為 1)
(a + a)/(a + b) = 1 餘 (a - b)
a - b = 1
b = a - 1
三數為 a，a，2a - 1
(a + 2a - 1)/a = 2 餘 (a - 1)
a - 1 = 1
a = 2
三數為 2，2，3

(ii)
設三數為 a - b，a，a (a、a - b 和 b 均為自然數，a - b 不為 1)
(a - b + a)/a = 1 餘 (a - b)
a - b = 1，不合


(3) 三數均相異
設三數為 a，a + n，a + m (a、n 和 m 為自然數，a 不為 1，m ＞ n)
(a + a + n)/(a + m) = 1 餘 (a + n - m)
a + n - m = 1
m = a + n - 1

三數為 a，a + n，2a + n - 1
(a + 2a + n - 1)/(a + n) = 2 餘 (a - n - 1)
a - n - 1 = 1
n = a - 2
三數為 a，2a - 2，3a - 3
(2a - 2 + 3a - 3)/a = 3 餘 (2a - 5)
2a - 5 = 1
a = 3
三數為 3，4，6
(2a - 2 + 3a - 3)/a = 4 餘 (a - 5)
a - 5 = 1
a = 6
三數為 6，10，15

故三數為 2，2，3 或 3，4，6 或 6，10，15