101 楊梅高中

[thepiano]

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第 1 題
令 x^2012 + 1 = Q(x)(x^2 + 1)(x^2 + x + 1) + (ax^3 + bx^2 + cx + d)
x 分別用 i 和 ω 代入
可求出 a = c = -2，b = -1，d = 1
所求為 -2x^3 - x^2 - 2x + 1


第 5 題
鏡射矩陣
[-1/2　　-√3/2]
[-√3/2　　 1/2]


第 8 題
令 ∫f(x)dx (從 1 積到 2) = a
f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2ax + 3
∫f(x)dx = x^4 + x^3 - ax^2 + 3x + c
∫f(x)dx (從 1 積到 2) = 25 - 3a
25 - 3a = a
a = 25/4
f(x) = 4x^3 + 3x^2 - (25/2)x + 3

[thepiano]

第 6 題
x 和 y 應是不為 0 的複數

令 y = ax (a 不為 1)
x^2 + ax^2 + a^2x^2 = 0
1 + a + a^2 = 0
(1 - a)(1 + a + a^2) = 0
a^3 = 1

[y/(x + y)]^2008 + [x/(x + y)]^2008
= [a^2008/(1 + a)^2008] + [1/(1 + a)^2008]
= [a/(-a^2)^2008] + [1/(-a^2)^2008]
= a/a^2 + 1/a^2
= (1 + a)/a^2
= -1