101 北一女 (第 2 次)

[thepiano]

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第 5 題
f'(x) = 4x^3 + 2ax + 1
f(x) 在 [0，∞) 要遞增
那麼 f'(x) = 0 有"一實根"或"三實根中有二等根"
x^3 + (a/2)x + 1/4 = 0
4(a/2)^3 + 27(1/4)^2 ≧ 0
a ≧ -3/2


第 8 題
(1) 正確選項只有 1 個，機率是 4/15
全對機率 1/15，答錯一個選項機率 3/15

(2) 正確選項有 2 個以上，機率是 11/15
全對機率 1/15，答錯一個選項機率 4/15

所求 = (4/15) * [(1/15) * 8 + (3/15) * 4] + (11/15) * [(1/15) * 8 + (4/15) * 4] = 344/225

[thepiano]

計算第 4 題
a_(n+1) = [(a_n)^3 - 12]/13
當 α ＜ a_1 ＜ β 時，＜a_n＞ 為收斂數列
求 (1) α = ？ β = ？ (2) lim(a_n) (n → ∞) = ？


(1)
a_(n+1) - a_n = [(a_n)^3 - 12 - 13a_n]/13 = (a_n - 4)(a_n + 1)(a_n + 3)/13

a_n ＞ 4，a_(n+1) ＞ a_n ＞ ...... ＞ a_2 ＞ a_1
lim(a_n) (n → ∞) = ∞

a_n ＜ -3，a_(n+1) ＜ a_n ＜ ...... ＜ a_2 ＜ a_1
lim(a_n) (n → ∞) = -∞

a_1 = 4，a_n = 4
a_1 = -3，a_n = -3

-3 ＜ a_1 ＜ 4
-3 ＜ a_2 = [(a_1)^3 - 12]/13 ＜ 4
：
：
-3 ＜ a_n ＜ 4

故 -3 ≦ a_1 ≦ 4 時，＜a_n＞ 為收斂數列


(2)
令 lim(a_n) (n → ∞) = x
x = (x^3 - 12)/13
x = -1，-3，4

其中
a_1 = -3，lim(a_n) (n → ∞) = -3
a_1 = 4，lim(a_n) (n → ∞) = 4
-3 ＜ a_1 ＜ 4，lim(a_n) (n → ∞) = -1