排列組合問題~3

[armopen]

下面是 AMC 2003 的問題，有請 thepiano 老師解惑, 感謝您的幫忙.

將 5 個 A，5 個 B， 5 個 C，共 15 個字母排成一列，使得前 5 個位置不排 A，中間 5 個不排 B，
最後 5 個不排 C，排法有幾種？

我對書上的解法感到疑惑，覺得少考慮了一些情形，書上的解法是

前 5 個只能排 B 或 C，中間 5 個只能排 A 或 C, 最後 5 個只能排 A 或 B.

所以 (B,C; C,A; A,B) 出現次數為 (5,0; 5,0; 5,0), (4,1; 4,1; 4,1), (3,2; 3,2; 3,2), (2,3; 2,3; 2,3),

(1,4; 1,4; 1,4), (0,5; 0,5; 0,5) ，故答案是 [C(5,0)]^2 + [C(5,1)]^2 + ... + [C(5,5)]^2 = 2252.

我認為當前 5 個位置 (B,C) 個數是 5, 0 時，中間 (C,A) 個數未必是 (5,0) 啊？ 還是說我沒看懂書上解法呢？

謝謝老師的幫忙.

[thepiano]

前 5 個位置 (B，C) = (5，0) 時，中間 (C，A) 必 = (5，0)，因為最後 5 個都不能排 C，所以 5 個 C 一定要排在中間那 5 個
也就是 BBBBBCCCCCAAAAA

[armopen]

我懂了，謝謝 thepiano 老師