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請參考附件，連計算題都附答案，很不錯

填充第 5 題
S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + 99^2 - 100^2
= (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 99^2 + 100^2) - 2(2^2 + 4^2 + ... + 100^2)
= (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 99^2 + 100^2) - 8(1^2 + 2^2 + ... + 50^2)

填充第 1 題
2^n = 2 * 2^(n-1)

x^5 項係數為 2，有以下 5 個
2x^5 + 2x^4 + x^2 + 1
2x^5 + 2x^4 + 2x + 1

2x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + 1
2x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x + 1

2x^5 + x^4 + x^3 + 2x^2 + 2x + 1

x^6 項係數為 1，x^5 項係數為 0，也有 5 個
因為 x^6 = 2x^5

x^6 項係數為 1，x^5 項係數為 1，有 2 個
x^6 + x^5 + x^2 + 1
x^6 + x^5 + 2x + 1

所求 = 5 * 2 + 2 = 12 個

請教版上老師計算第一題遞迴我是想a(n)=1/2*a(n-1)+1*[1-a(n-1)].....第n次抽到黑球的機率等於第(n-1)次抽到黑球機率*(1/2)加上第(n-1)次抽到非黑球機率*1
,我的觀念錯在哪?煩請指點,謝謝

計算第 1 題
您的做法會有包含的問題，但不太好解釋
您可畫個樹狀圖，易知 a_3 = 7/8，但以您的關係式是 5/8

這題小弟覺得較簡單的想法請參考附件

請教版上老師計算第一題遞迴我是想a(n)=1/2*a(n-1)+1*[1-a(n-1)].....第n次抽到黑球的機率等於第(n-1)次抽到黑球機率*(1/2)加上第(n-1)次抽到非黑球機率*1
,我的觀念錯在哪?煩請指點,謝謝

你的觀念錯在 第(n-1)次抽到黑球之前可能白球早已經被取出, 如此乘上1/2 就不對了

再打一下, 計算第一題的解答, 如有錯希望大家幫我糾正一下, Thanks

如果第一球取到白球，則第n 次必取到黑球，所以機率
如果第一球取到黑球，那袋中之球仍是一白一黑，和原來一模一樣，則第n 次取到黑球的機率 a_n = a_n-1

不好意思請問一下, 到這裏我都還可以理解, 但怎麼可以接上 a_n = 1/2 + (1/2)a_n-1

我的想法是, 等號右邊的第一個1/2指的是第一次取到白球. 但接下來的(1/2)a_n-1如何解釋.
若考慮a_7 = 1/2 + (1/2)a_6, 前面這個1/2是第一次取到白球時留下來的, 但後面這個a_6不是己經把這個1/2算在裏面了, ????????????

能不能請老師(們)幫我說明一下, 謝謝.

這題用遞迴來做本來就不容易理解，用反向思考，倒很快可求出 a_n
話說這題也是抄自對岸的試題，原試題只求 a_n，解答也只給 1 - (1/2)^n，沒給詳解

小弟粗略解釋一下 liusolong 老師的式子，若有誤請 liusolong 老師指正

若第 1 球 取到白球，則第 n 球(n ≧ 2)必取到黑球，機率是 (1/2) * 1 = 1/2
若第 1 球 取到黑球，則第 n 球(n ≧ 2)取到黑球的機率 = 第 (n-1) 球(n ≧ 2)取到黑球的機率
您畫個樹狀圖(畫到 a_3 就好)即可了解，機率是 (1/2) * a_(n-1)

故 a_n = 1/2 + (1/2)a_(n-1)

thepiano 寫:這題用遞迴來做本來就不容易理解，用反向思考，倒很快可求出 a_n

謝謝ThePiano老師.