複數絕對值

[M9331707]

已知z為複數,|z|=1,若|z^2-Z+1|的最大值M,最小值m

[armopen]

原式 = |z| |z - 1 + 1/z| = |z + 1/z -1|

因為複數 z 滿足 |z| = 1, 所以令 z = cosθ + i sinθ, θ 屬於 [0, 2π) => 1/z = cos(-θ) + i sin(-θ)

代入得到

原式 = |2cosθ - 1|, 所以最大值是 3, 最小值是 0.

[thepiano]

提供另一個想法

(1) |z^2 - z + 1| ≦ |z|^2 + |-z| + 1 = 3
z = -1 時，等號成立

(2) |z^2 - z + 1| ≧ 0
z^2 - z + 1 = 0 [ 即 z = (1 + √3i)/2 ] 時，等號成立