98彰化女中

[MathPower]

請問
4
直角三角形三邊長a b c且a<=b<=c
若log a^2 + log b^2 = log c^2
則a之最大可能值?

計算1
求x^2 + y^2<=1 與 y^2 + z^2<=15 的共同部分體積

計算2
求x^2/25 + y^2/16 =1 繞x軸所得旋轉體的表面積

計算3
A袋有2個10元硬幣,B袋有3個5元硬幣
從A袋任取一個硬幣與B袋任取一個硬幣互換
這樣的互換進行3次
求A袋的錢幣的期望值

[armopen]

計算一：
所求 = 二重積分 √(15 - y^2) dx dy (x 從 0 積到 √(1- y^2) ), (y 從 0 積到 1).

計算二：
設 x = 5cost, y = 4sint,
所求 = 2π 積分 (4sint)√[(-5sint)^2 + (4cost)^2] dt (t 從 0 積到 2π)

[thepiano]

第 4 題
題目應寫成 a ≦ b ＜ c 才好

log(a^2) + log(b^2) = log(c^2)
a^2b^2 = c^2

a^2b^2 = c^2 = a^2 + b^2 ≦ 2b^2
a^2 ≦ 2
0 ＜ a ≦ √2


計算 3
A 袋中始終有 2 個錢幣，且其可能情形一定是 (10，10)，(10，5)，(5，5) 三者之一

把以下寫成 3 * 3 之馬可夫鏈推移矩陣
(10，10) → (10，10)，(10，10) → (10，5)，(10，10) → (5，5)
(10，5) → (10，10)，(10，5) → (10，5)，(10，5) → (5，5)
(5，5) → (10，10)，(5，5) → (10，5)，(5，5) → (5，5)

計算可知，互換 3 次後
A 袋中有 2 個 10 元幣的機率是 1/12
A 袋中有 1 個 10 元幣和 1 個 5 元幣的機率是 23/36
A 袋中有 2 個 5 元幣的機率是 5/18

所求 = 20 * 1/12 + 15 * 23/36 + 10 * 5/18

[MathPower]

感謝解答
另外A的馬可夫鏈推移矩陣是否為
0 1/6 0
1 1/2 2/3
0 1/3 1/3

[thepiano]

另外A的馬可夫鏈推移矩陣是否為
0 1/6 0
1 1/2 2/3
0 1/3 1/3

是的

[dream10]

不好意思
請問一下
計算二：
設 x = 5cost, y = 4sint,
所求 = 2π 積分 (4sint)√[(-5sint)^2 + (4cost)^2] dt (t 從 0 積到 2π)

我算到2π 積分 (4sint)√[16+9(sint)^2t]dt (t 從 0 積到 2π)
接著不知道怎麼積分囉

可以問大大怎麼算嗎

謝謝您~~

感恩您

思考了很久

[armopen]

不好意思
請問一下
計算二：
設 x = 5cost, y = 4sint,
所求 = 2π 積分 (4sint)√[(-5sint)^2 + (4cost)^2] dt (t 從 0 積到 2π)

我算到2π 積分 (4sint)√[16+9(sint)^2t]dt (t 從 0 積到 2π)
接著不知道怎麼積分囉

可以問大大怎麼算嗎

謝謝您~~

感恩您

思考了很久

先說聲抱歉, 這個算式是正確的, 但是積分的結果無法以初等函數表示. 也就是說，用這種表示法本來就積不出來啦 .

但換個方式就可以算出來囉 (但還是會用到二個積分技巧：分別是三角代換及分部積分), 就用原來的公式下去算

所求 = 2π 積分 f(x) ds, 其中 ds = √{1 + [f ' (x)]^2} dx, f(x) = 4√(1 - x^2 /25),

積分範圍是從 x = -5 到 x = 5.

整理之後會得到比較簡單的式子，基於時間關係，我只寫下重點

將 x 用 5tanθ 代換, θ 屬於 (-π/2, π/2) 可以化簡出被積分函數是 (secθ)^3 乘上一個常數, 這邊要作一次分部積分, 即

拆成 secθ * (secθ)^2, 剩下就留給你作吧.

[dream10]

嗯嗯~~
謝謝 armopen大大
我在試試看~~
感恩您唷~~