美夢成真教甄討論區

請問
1
n為正整數,n>=2,以圓內接正2n邊形的2n個頂點任取3點為三角形的頂點
請問有幾個直角三角形?有幾個鈍角三角形?
再另問銳角的個數是否為C(2n,3)減去直角和鈍角的個數

2
已知0 <= a , b <= 2pi
A=(2cos a - 3cos b -6)^2 + (2sin a - 3sin b +8)^2
求A值的範圍

3
空間中兩點A(-1,1,3) B(3,1,5)
若球面S過A B兩點且球心在平面E：5x-2y+5z-14=0上
求S的最小半徑

4
過A(1,2)作直線與x^2=5y交於二點P Q
若角POQ為直角 則PQ方程式為?

7
這題我發現將等式兩邊除以Sn和Sn-1就能算出Sn的一般項
但要怎麼解釋Sn和Sn-1不會等於0?

10
求下列方程式的解 其中x>0 0<=y<2pi
cos y + 1/3 sin 4y = x cos y
sin y + 1/3 cos 4y = x sin y
這題我將兩式平方相加得1+2/3 sin 5y =x^2
但不知道該怎麼做下去了

11
sigma k^2 C(49,k) k從1到49
為幾位數?

12
求所有自然數n使得X1+...+Xn=8 和 1/X1 +...+ 1/Xn =2 有正實數解

證明題第1第2

這份題目做一次真的大失信心 ,題目實在有夠難
前面12題只會做4題而證明題只寫出第3題
不知道當初進複試的分數是多少呀?

第 1 & 3 & 10 & 12 題
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=36493


第 2 題
O(2cosa，2sina)，P(3cosb + 6，3sinb - 8)
O 是圓 x^2 + y^2 = 4 上任一點
P 是圓 (x - 6)^2 + (y + 8)^2 = 9 上任一點
用幾何方法求出 OP^2 之最大值及最小值即知其範圍


第 4 題
令直線 PQ 之方程式為 y = m(x - 1) + 2
代入 x^2 = 5y，得 x^2 - 5mx + (5m - 10) = 0
再令 P(a，a^2/5)，Q(b，b^2/5)
由於 OP 和 OQ 垂直，ab = -25
5m - 10 = -25
m = -3


第 7 題
S_(n - 1) = S_n * [1 + 2S_(n - 1)] ...... (1)
S_n = S_(n - 1) / [1 + 2S_(n - 1)]
1 / S_n = 2 + [1 / S_(n - 1)]
......
易知 S_n = 1 / (2n - 1)

在 (1) 式中，若 1 + 2S_(n - 1) = 0，則 S_(n - 1) = 0，代回題目給的式子後，S_n = 0
即 S_2 = S_3 = ...... = 0
又 S_1 - S_2 = 2 * S_1 * S_2，S_1 = 0 與題目中的 a_1 = S_1 = 1 不合
故 1 + 2S_(n - 1) 不為 0


第 11 題
Σk^2 * C(n，k) [k = 1 ～ n]
= n(n + 1) * 2^(n - 2)
嚴鎮軍主編的 "高中數學競賽教程"，P235

第3題
做過AB中點M，且與線段AB垂直的平面E1，此時可知球心O必在平面E與平面E1的 交線L 上

AB中點M到此 直線L 的的最短距離即為所求

E1：2x+z-6=0

線段AB = 2*5^(1/2)
線段AM = 5^(1/2)

交線L
x=t
y=8-(5/2)t
z=6-2t
又做一平面E2包含線段AB且平行直線L

E2:x+2y-2z-4=0

d(M,E2)=3

半徑=(3^2+5)^(1/2)=14^(1/2)

10.
我的作法是
cos y + 1/3 sin 4y = x cos y
sin y + 1/3 cos 4y = x sin y
分別移項
得
1/3 sin 4y = (x-1) cos y
1/3 cos 4y =( x-1)sin y
兩式相除得

sin4ysiny=cos4ycosy
-cos5y+cos3y=cos5y+cos3y
cos5y=0
得
5y=pi/2 3pi/2 5pi/2 7pi/2 9pi/2 11pi/2 13pi/2 15pi/2 17pi/2 19pi/2

y=pi/10 3pi/10 5pi/10 7pi/10 9pi/10 11pi/10 13pi/10 15pi/10 17pi/10 19pi/10

代入第一式cos y + 1/3 sin 4y = x cos y
當y=pi/10 5pi/10 9pi/10 13pi/10 17pi/10 得x=4/3

當y=3pi/10 7pi/10 11pi/10 15pi/10 19pi/10 得x=2/3

如果有更好的想法請大家提供吧

計算第一題

利用 a+b+r=pi

分別化簡
cosa cosb cosr

然後代入式子中

此時才通分

相信你會發現有所不同

然後神奇的分子會化簡成為和分母相同

故得 3-1=2


可以請教你第9題嗎? 如何解得呢?

第 9 題
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=26666

1.設n為大於2的正整數,以圓內接正2n邊形的2n個頂點中任取三點為三角形的頂點
則共可作成幾個鈍角三角形
sol:C(n,3)*6---前n條直徑任取3條,這三條直徑可定出6個鈍角三角形
能否說明一下為什麼是這樣算呢???
以八邊形為例..他的每個邊不是都可造出4個鈍角三角形.那這樣不是應該要4*8=32??

第 4 題
令直線 PQ 之方程式為 y = m(x - 1) + 2
代入 x^2 = 5y，得 x^2 - 5mx + (5m - 10) = 0
再令 P(a，a^2/5)，Q(b，b^2/5)
由於 OP 和 OQ 垂直，ab = -25
5m - 10 = -25
m = -3
這題應該有另一個m=7的解

idontnow90 寫:1.設n為大於2的正整數,以圓內接正2n邊形的2n個頂點中任取三點為三角形的頂點
則共可作成幾個鈍角三角形
sol:C(n,3)*6---前n條直徑任取3條,這三條直徑可定出6個鈍角三角形
能否說明一下為什麼是這樣算呢???

因為一個六邊形的邊及其對角線可構成 6 個鈍角三角形

idontnow90 寫:以八邊形為例..他的每個邊不是都可造出4個鈍角三角形.那這樣不是應該要4*8=32??

這樣會有重覆 ......

提供另一個算法
將圓內接正 2n 邊形的頂點依順時針定為為 A_1，A_2，......，A_2n
這 2n 個頂點將圓周等分為 2n 段弧

若 A_1 為鈍角頂點，△A_1A_iA_j 為鈍角三角形且弧 A_1A_i 與弧 A_1A_j 的段數分別為 x 和 y
則 x + y ＜ n
(x，y) 的正整數解有 (n - 1)(n - 2)/2 組
故以 A_1 為鈍角頂點的鈍角三角形有 (n - 1)(n - 2)/2 個

所求 = [(n - 1)(n - 2)/2] * 2n = n(n - 1)(n- 2) 個

idontnow90 寫: 第 4 題
令直線 PQ 之方程式為 y = m(x - 1) + 2
代入 x^2 = 5y，得 x^2 - 5mx + (5m - 10) = 0
再令 P(a，a^2/5)，Q(b，b^2/5)
由於 OP 和 OQ 垂直，ab = -25
5m - 10 = -25
m = -3
這題應該有另一個m=7的解

沒有這個解 ......

thepiano 寫:

idontnow90 寫:1.設n為大於2的正整數,以圓內接正2n邊形的2n個頂點中任取三點為三角形的頂點
則共可作成幾個鈍角三角形
sol:C(n,3)*6---前n條直徑任取3條,這三條直徑可定出6個鈍角三角形
能否說明一下為什麼是這樣算呢???

因為一個六邊形的邊及其對角線可構成 6 個鈍角三角形

你的另一個解法我看懂了.但是上面這個解法的說明我還是不太懂
一個六邊形ABCDEF中.以AB邊來作為一個鈍角三角形的邊.不是就只有三角形FAB及三角形ABC兩個而已嗎?為什麼你會說因為一個六邊形的邊及其對角線可構成 6 個鈍角三角形???

另外第四題的部分..我是這樣解的
令P(根號5a,a),Q(-根號5b,b)
PQ:x=(y-2+m)/m
[(y-2+m)/m]^2=5y
m^2-4m+4=ab=25
m=7 or -3

idontnow90 寫:一個六邊形ABCDEF中.以AB邊來作為一個鈍角三角形的邊.不是就只有三角形FAB及三角形ABC兩個而已嗎?為什麼你會說因為一個六邊形的邊及其對角線可構成 6 個鈍角三角形???

六邊形有六個邊

idontnow90 寫:m=7 or -3

m = 7 時
P 和 Q 都在第一象限
∠POQ 不可能是直角