104 台中一中

[thepiano]

請參考附件

填充第 5 題
搖擺數的個數
(1) a、b、c 三異，且均不為 0：有 C(9，3) * 4 = 336 個
(2) a、b、c 兩同一異，且均不為 0：兩同分居百、個位，有 9 * 8 = 72 個
(3) b = 0：有 9 * 9 = 81 個
(4) c = 0：有 C(9，2) = 36 個
加起來是 525 個


計算第 1 題
令 x^2015 - 3x^1008 + x^8 + x^3 + 4x^2 - x + 1 = x(x^4 - x^2 + 1)q(x) + (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + 1)
(x^2 + 1)(x^2015 - 3x^1008 + x^8 + x^3 + 4x^2 - x + 1) = x(x^6 + 1)q(x) + (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + 1)(x^2 + 1)
x^6 = -1 代入上式
得 (x^2 + 1)(-x^5 + x^3 + 3x^2 - x - 2) = (ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + 1)(x^2 + 1)
3x^4 + x^2 - 2 = bx^5 + (a + c)x^4 + (b + d)x^3 + (c + 1)x^2 + dx + (1 - a)
比較係數可得 a = 3，b = c = d = 0
所求為 3x^4 + 1

[leo790124]

請問計算第一題倒數第三行怎麼變出來的呢？

[thepiano]

前一式乘開，x^6 繼續用 -1 代入可得

[LATEX]

請問填充3

[thepiano]

第 13 題
作 CE 垂直 AB 於 E
BE = BC * cos∠ABC = 15/2
CE = √(BC^2 - BE^2) = (5/2)√39
cos∠BAC = 1/2，∠BAC = 60 度
AE = (5/2)√13
△ABC = AB * CE * (1/2) = (75√39 + 325√3)/8

作 DO 垂直 △ABC 於 H
則 O 為 △ABC 之外心
OA = BC/(2sin∠BAC) = 10
DO = √(DA^2 - OA^2) = 24

四面體 D_ABC 之體積 = [(75√39 + 325√3)/8] * 24 * (1/3) = 75√39 + 325√3
所求 = 四面體 D_ABC 之體積 * 6 = 450√39 + 1950√3

[thepiano]

第 3 題
易知 BC = 2√13
設外心 O，作 OD 垂直 BC 於 D
BD = √13，OB = BC/(2sinA) = (2/3)√39
OD = √(OB^2 - BD^2) = √39/3
AH = 2OD = (2/3)√39