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四面體ABCD菱長 AB=a, AC=AD=BC=BD=5, CD=4, 求使四面體體積最大時的a

自行畫圖

四面體 D-ABC
取 AB 中點 M，CD 中點 N
CM = DM = √[5^2 - (a/2)^2] = √(25 - a^2/4)
MN = √(CM^2 - CN^2) = √(21 - a^2/4)

△CDM = (1/2) * 4 * √(21 - a^2/4) = 2√(21 - a^2/4)

D-ABC = (1/3) * △CDM * AB
= (2/3)√(-a^4/4 + 21a^2)
= (1/3)√(-a^4 + 84a^2)
= (1/3)√[-(a^2 - 42)^2 + 42^2]
a = √42 時，D-ABC 有最大體積 14

還有一個簡單的做法

菱形 ACBD，對角線交點 M
沿 CD 摺起，當 △ACD 和 △BCD 垂直時，四面體 A-BCD 有最大體積
此時 AM = BM = √21，AB = √(AM^2 + BM^2) = √42