104 板橋高中

[thepiano]

第 13 & 14 題
請參考附件

[thepiano]

第 15 題
見圖，在直線 AB 上取一點 D 使 AE = DE
則 DC = AC = 8
DB^2 = 8^2 + 7^2 - 2 * 8 * 7 * cos(B - D) = 113 - 112 * cos(B - A) = 113 - 112 * cos(A - B) = 9
DB = 3
cosD = (8^2 + 3^2 - 7^2) / (2 * 8 * 3) = 1/2
△ADC 是正三角形，AB = 8 - 3 = 5

△ABC = 10√3
外接圓半徑 R = (5 * 7 * 8) / (40√3) = 7 / √3

PH = √[9R^2 - (5^2 + 7^2 + 8^2)] = 3


第 16 題
請參考附件

[cauchyslin]

請教第7題 感恩 謝謝~~

[thepiano]

第 7 題
若 x 為奇數，則 x^3 + 12x^2 + (36 + 2k)x + 280 + 12k 為奇數，不合
故 f(x) = x^3 + 12x^2 + (36 + 2k)x + 280 + 12k = 0 的三根均為偶數

令三根為 a，b，c
a + b + c = -12

(-6 - a)(-6 - b)(-6 - c) = f(-6) = (-6)^3 + 12(-6)^2 + (36 + 2k)(-6) + 280 + 12k = 280
由於 -6 - a，-6 - b，-6 - c 均為偶數
(-6 - a) + (-6 - b) + (-6 - c) = -18 - (a + b + c) = -6
(-6 - a)(-6 - b)(-6 - c) = (-2) * 10 * (-14)
所以三根為 -4，-16，8

(-4) * (-16) * 8 = -(280 + 12k)
k = -66

[thepiano]

第 9 題
令 f(x) = ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + (4 - 2a - b)
f(-1) ≧ 0，a + 2b ≦ 4
f(0) ≦ 0，2a + b ≧ 4
f(1) ≦ 0，a ≧ 4
f(2) ≧ 0，2a + b ≧ -4

將以下四個不等式畫在 a-b 平面上
a + 2b ≦ 4
2a + b ≧ 4
a ≧ 4
2 ≧ b ≧ -8

產生一個四邊形，其頂點為 (4，0)，(4，-4)，(6，-8)，(20，-8)

a + 3b + 2c = a + 3b + 2(4 - 2a - b) = -3a + b + 8 要最小，故 a 要最大，b 要最小
所求 = -60 - 8 + 8 = -60

[EZWrookie]

可以請教鋼琴老師
第15題的算式中
PH = √[9R^2 - (5^2 + 7^2 + 8^2)] = 3
是怎麼來的呢??

以及第17題老師給的題是為mod 8
但以f(3456;2)的mod8來說 答案並不正確
是否是我誤會意思了? 麻煩老師了

謝謝您

[thepiano]

第 15 題
今年台中一中考過
http://math.pro/db/thread-2206-1-1.html

第 17 題
只剩一位數時，不可能是 0 或 1，只可能是 2 ~ 9
3456 ≡ 0 (mod 8)
故改寫成 f(3456；2) = 8

[EZWrookie]

了解了，謝謝老師的解說。

[suwenpo]

請教鋼琴老師: 第17題的答案為什麼剛好和mod 8一致?? 謝謝!!

[thepiano]

10 ≡ 2 (mod 8)
10^n ≡ 2^n (mod 8)
當數字不斷被改寫成越來越小的數字，唯一不變的是它們除以 8 的餘數

這題出題者若出 123456789101112...102103104 這個數字會更好玩