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104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 23日, 16:43
thepiano
第 13 & 14 題
請參考附件

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 23日, 21:20
thepiano
第 15 題
見圖,在直線 AB 上取一點 D 使 AE = DE
則 DC = AC = 8
DB^2 = 8^2 + 7^2 - 2 * 8 * 7 * cos(B - D) = 113 - 112 * cos(B - A) = 113 - 112 * cos(A - B) = 9
DB = 3
cosD = (8^2 + 3^2 - 7^2) / (2 * 8 * 3) = 1/2
△ADC 是正三角形,AB = 8 - 3 = 5

△ABC = 10√3
外接圓半徑 R = (5 * 7 * 8) / (40√3) = 7 / √3

PH = √[9R^2 - (5^2 + 7^2 + 8^2)] = 3


第 16 題
請參考附件

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 23日, 22:32
cauchyslin
請教第7題 感恩 謝謝~~

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 24日, 09:05
thepiano
第 7 題
若 x 為奇數,則 x^3 + 12x^2 + (36 + 2k)x + 280 + 12k 為奇數,不合
故 f(x) = x^3 + 12x^2 + (36 + 2k)x + 280 + 12k = 0 的三根均為偶數

令三根為 a,b,c
a + b + c = -12

(-6 - a)(-6 - b)(-6 - c) = f(-6) = (-6)^3 + 12(-6)^2 + (36 + 2k)(-6) + 280 + 12k = 280
由於 -6 - a,-6 - b,-6 - c 均為偶數
(-6 - a) + (-6 - b) + (-6 - c) = -18 - (a + b + c) = -6
(-6 - a)(-6 - b)(-6 - c) = (-2) * 10 * (-14)
所以三根為 -4,-16,8

(-4) * (-16) * 8 = -(280 + 12k)
k = -66

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 24日, 11:29
thepiano
第 9 題
令 f(x) = ax^2 + bx + c = ax^2 + bx + (4 - 2a - b)
f(-1) ≧ 0,a + 2b ≦ 4
f(0) ≦ 0,2a + b ≧ 4
f(1) ≦ 0,a ≧ 4
f(2) ≧ 0,2a + b ≧ -4

將以下四個不等式畫在 a-b 平面上
a + 2b ≦ 4
2a + b ≧ 4
a ≧ 4
2 ≧ b ≧ -8

產生一個四邊形,其頂點為 (4,0),(4,-4),(6,-8),(20,-8)

a + 3b + 2c = a + 3b + 2(4 - 2a - b) = -3a + b + 8 要最小,故 a 要最大,b 要最小
所求 = -60 - 8 + 8 = -60

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 25日, 14:17
EZWrookie
可以請教鋼琴老師
第15題的算式中
PH = √[9R^2 - (5^2 + 7^2 + 8^2)] = 3
是怎麼來的呢??

以及第17題老師給的題是為mod 8
但以f(3456;2)的mod8來說 答案並不正確
是否是我誤會意思了? 麻煩老師了

謝謝您

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 25日, 14:43
thepiano
第 15 題
今年台中一中考過
http://math.pro/db/thread-2206-1-1.html

第 17 題
只剩一位數時,不可能是 0 或 1,只可能是 2 ~ 9
3456 ≡ 0 (mod 8)
故改寫成 f(3456;2) = 8

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 25日, 15:17
EZWrookie
了解了,謝謝老師的解說。

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 26日, 09:58
suwenpo
請教鋼琴老師: 第17題的答案為什麼剛好和mod 8一致?? 謝謝!!

Re: 104 板橋高中

發表於 : 2015年 5月 26日, 12:23
thepiano
10 ≡ 2 (mod 8)
10^n ≡ 2^n (mod 8)
當數字不斷被改寫成越來越小的數字,唯一不變的是它們除以 8 的餘數

這題出題者若出 123456789101112...102103104 這個數字會更好玩