美夢成真教甄討論區

請問
1.n個不同的球，投入4個不同的箱子，設空箱個數的期望值為En，則(1)En=? (2)sigma(1,無窮大)En=?

2.設三角形ABC的邊長為a，點P Q R分別在BC CA AB邊上移動且滿足BP+CQ+AR=a
求P Q R位於何處時，三角形PQR面積最大=?

在此先謝謝各位了

第 1 題
1 個球投入 4 個不同箱子的其中之一，則某個箱子是空箱的機率是 3/4
2 個球投入 4 個不同箱子的其中之一或其中之二，則某個箱子是空箱的機率是 (3/4)^2
......
n 個球投入 4 個不同箱子，則某個箱子是空箱的機率是 (3/4)^n

故 E(n) = 4 * (3/4)^n


第 2 題
△ABC 應是正三角形
令 BP = x，CQ = y，AR = z
則 CP = a - x，AQ = a - y，BR = a - z
x + y + z = a

△BPR + △CPQ + △AQR = (1/2) * [x(a - z) + y(a - x) + z(a - y)] * sin60度 = (√3/4)[a^2 - (xy + yz + zx)]
x = y = z = a/3 時，xy + yz + zx 有最大值，△BPR + △CPQ + △AQR 有最小值 (√3/6)a^2
此時 △PQR 有最大值 (√3/12)a^2