103 和平高中

[thepiano]

計算題二題
(1)
a_n = 1 + ω^n + ω^(2n)，其中 ω 是 x^2 + x + 1 = 0 之根
S_m = Σ[a_k * C(m，k)] (k = 0 ~ m)
(i) 證明 S_m = 3C(m，0) + 3C(m，3) + 3C(m，6) + ...3C(m，m)
(ii) 求 S_138 之首位

(2)
f(x) 是三次實係數多項式，若 x_1、x_2、x_3、x_4、x_5 成等差數列
試用拉格朗日插值多項式證明
C(4，0)f(x_1) - C(4，1)f(x_2) + C(4，2)f(x_3) - C(4，3)f(x_4) + C(4，4)f(x_5) = 0

[thepiano]

(1)(i)
n ≡ 0 (mod 3)，a_n = 3
n ≡ 1 (mod 3)，2n ≡ 2 (mod 3)，a_n = 0
n ≡ 2 (mod 3)，2n ≡ 1 (mod 3)，a_n = 0
S_m = 3C(m，0) + 3C(m，3) + 3C(m，6) + ... + 3C(m，m)

(ii)
S_m = 3[C(m，0) + C(m，3) + C(m，6) + ... + C(m，m) ] = 3 * [(2^n + 2)/3] = 2^n + 2
所求即 2^138 的首位 = 3

藍字部份，去年和前年松山家商連考二次
viewtopic.php?f=53&t=3040&start=10


(2)
巴貝奇定理，證明請參考附件，其實這個用數學歸納法證明，手比較不會累

[LATEX]

請問矩陣的問題

[thepiano]

參考 興傑 老師的作法，答案是 -3 + √2
http://math.pro/db/thread-1877-1-1.html