103 新北市國中

[thepiano]

第 11 題
應該 (C) 和 (D) 都對

第 32 題
題目並沒有說兩"相異"實根
應該 (B) 和 (C) 都對

[Superconan]

謝謝鋼琴老師幫忙發現錯誤

請教 1 , 9 , 13 , 15

[thepiano]

第 1 題
令兩股長為 a + 5 和 b + 5，其中 a ≦ b，斜邊長 a + b
面積 = (a + 5)(b + 5)/2

(a + 5)^2 + (b + 5)^2 = (a + b)^2
展開整理
ab - 5a - 5b = 25
(a - 5)(b - 5) = 50
a = 6，b = 55
a = 7，b = 30
a = 10，b = 15

(a + 5)(b + 5)/2 的最大值 = (6 + 5)(55 + 5)/2 = 330


第 9 題
p^2 + q^2 = (5^2 + 7^2)(4^2 + 9^2) = 74 * 97 = 7178
故 p 和 q 為兩奇或兩偶

但若是兩偶，則 p^2 + q^2 必為 4 的倍數，而 7178 非 4 的倍數
故 p 和 q 為兩奇

剩兩個答案就代入吧！


第 13 題
f(x) = √[(x - 3)^2 + (0 - 2)^2] - √[(x + 2)^2 + (0 - 1)^2]
視為 x 軸上一點 A(x，0) 到 B(3，2) 和 C(-2，1) 之距離差
易知最大值為 BC = √26


第 15 題
S = 0.3 + 0.033 + 0.00333 + 0.0003333 + ......
(1/10)S = 0.03 + 0.0033 + 0.000333
(9/10)S = 0.3 + 0.003 + 0.00003 + 0.0000003 + ... = 0.3/(1 - 1/100) = 10/33
S = 100/297

[Superconan]

謝謝！想再請教 21 , 30 , 31 , 32

[DM24Tim]

21. 從上底的兩個頂點做高下來 假設把下底分成x跟4-x
所以能得到 25 - x^2 = 17 - (4-x)^2
就可以解得高是4 下底被分成3跟1
所求就是兩個對角線的平方和

30. 原來的線性變換是 -1 3 , 3 -1反矩陣就是 1/8 3/8 , 3/8 1/8
把(288,-224)用反矩陣算五次就好
(不會打矩陣 希望你看的懂意思)

31. 假設最後會逼近A 因此 (2A+10)/6 = A

32. 用判別式D>=0 就可以得到a+b >= c (題目沒有說是相異實根 所以(B)外切應該可以)

[Superconan]

抱歉 32 忘了說是想問怎麼判斷是不是內離

第 21 題
最後的對角線平方和該怎麼求？

[thepiano]

第 21 題
設 AD = 4，AB = 5，BC = 8，CD = √17
作 AE 垂直 BC 於 E，DF 垂直 BC 於 F
令 BE = x，CF = 4 - x
AE^2 = 5^2 - x^2 = (√17)^2 - (4 - x)^2
x = 3
AE = DF = 4

AC^2 = AE^2 + CE^2 = 4^2 + 5^2 = 41
BD^2 = DF^2 + BF^2 = 4^2 + 7^2 = 65


第 30 題
第一次移動到 (3b - a，3a - b)，橫坐標與縱坐標的和為 2(a + b)
第二次移動到 (10a - 6b，10b - 6a)，橫坐標與縱坐標的和為 4(a + b)
第三次移動到 (36b - 28a，36a - 28b)，橫坐標與縱坐標的和為 8(a + b)
:
:
第五次移動後，橫坐標與縱坐標的和為 32(a + b) = 288 - 224
a + b = 2


第 31 題
第一次變換：(2n + 10)/6 = (n + 5)/3
第二次變換：[(n + 5)/3 + 5]/3 = (n + 5)/3^2 + (5/3)
第三次變換：[(n + 5)/3^2 + (5/3) + 5]/3 = (n + 5)/3^3 + (5/3^2) + (5/3)
:
:
第 n 次變換：(n + 5)/3^n + 5/3^(n-1) + 5/3^(n - 2) + ... + (5/3) = (n + 5)/3^n + (5/3)/(1 - 1/3) = (n + 5)/3^n + (5/2)
當 n = 2014 時，(n + 5)/3^n 趨近於 0


第 32 題
(-2a)^2 - 4[ac - b(c - b)] ≧ 0
a^2 - ac + bc - b^2 ≧ 0
(a + b)(a - b) - c(a - b) ≧ 0
(a - b)(a + b - c) ≧ 0
a + b - c ≧ 0
a + b ≧ c
......
外切或交於兩點
內離是 a - b > c，而 a + b ≧ c 並不能推論出 a - b > c

[Superconan]

謝謝 DM24Tim老師 和 鋼琴老師，兩位不同的解法讓我很有收獲

[man90244]

想請問一下20.28.33.38

[thepiano]

第 20 題
3f(x) + f(2014/x) = 2x
x 用 2014/x 代入，得
3f(2014/x) + f(x) = 4028/x
二式解聯立，可得 f(x) = (6x - 4028/x)/8


第 28 題
(A) log(2 - √3) ＜ log(√3 - 1)
(B) 取對數
(C) 27^10 < 32^10，3^30 < 2^50 < 2^(101/2)
(D) 25^10 < 27^10


第 33 題
易知 a ≧ 3

a = 3
1/3 + 1/(3b) + 1/(3bc) = 37/90
(c + 1)/(3bc) = 7/90
b = 4，c = -15不合
b = 5，c = 6


第 38 題
見圖
所求 = C(9，2) - C(4，2) * 3 + 3 = 21