103 全國高中數學能力競賽

[LATEX]

[新北市]

[thepiano]

設 CE 到不相鄰邊的距離分別是 x，y，z
CD = a，DH = b，AD = c，MK = x
x = DN = ab/√(a^2 + b^2)
1/x^2 = 1/a^2 + 1/b^2
同理
1/y^2 = 1/b^2 + 1/c^2
1/z^2 = 1/c^2 + 1/a^2

1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) + 1/(2z^2)

1/a^2 = 1/(2x^2) + 1/(2z^2) - 1/(2y^2)
1/b^2 = 1/(2x^2) + 1/(2y^2) - 1/(2z^2)
1/c^2 = 1/(2y^2) + 1/(2z^2) - 1/(2x^2)

1/a = √[1/(2x^2) + 1/(2z^2) - 1/(2y^2)]
1/b = √[1/(2x^2) + 1/(2y^2) - 1/(2z^2)]
1/c = √[1/(2y^2) + 1/(2z^2) - 1/(2x^2)]

abc = (2√2)/√[(1/x^2 + 1/z^2 - 1/y^2)(1/x^2 + 1/y^2 - 1/z^2)(1/y^2 + 1/z^2 - 1/x^2)]

[LATEX]

[中投區]

[thepiano]

請參考附件，期待更快的方法...

[LATEX]

[中投區]

[thepiano]

<a_n> = 1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，4，4，......
請自行思考為何會如此

所求 = 1 * 2 + (1/2) * 4 + (1/3) * 6 + (1/4) * 8 + ...... + (1/45) * 90 = 2 * 45 = 90

[LATEX]

求函數 f(x)=｜secx｜+｜(tanx)^2-1｜ 的最小值

[thepiano]

令 t = |secx| ≧ 1
f(x) 改寫成 f(t) = t + |t^2 - 2|

分別畫出以下圖形
-√2 < t < √2
f(t) = -t^2 + t + 2

t ≧ √2，t ≦ -√2
f(t) = t^2 + t - 2

知 t = √2 時，f(t) 有最小值 √2

[LATEX]

請問幾何的問題

[thepiano]

令 AB = 2x，AD = mx，AE = 3x，AC = 6x
BD = 2y，DE = 3y，EC = ny

利用 AD/AC = DE/EC 及 △ABE/△ADC = (AB * AE)/(AD * AC) = BE/CD
可求出 n，所求為 3/n，答案有點醜