104 高雄中學

[thepiano]

題目請到 Math.Pro 下載，感謝 瓜農自足 兄提供
http://math.pro/db/thread-2239-1-1.html


xy + xz = 10
求 x^2 + 4y^2 + 5z^2 的最小值

(ax - 2y)^2 + (√(1 - a^2)x - √5z)^2
= x^2 + 4y^2 + 5z^2 - 4axy - 2√(1 - a^2)√5 * xz
讓 4a = 2√(1 - a^2)√5
a = √5 / 3

x^2 + 4y^2 + 5z^2
= [(√5 / 3)x - 2y]^2 + [(2/3)x - √5z]^2 + (4/3)√5(xy + xz)
≧ (40/3)√5

若限制條件是 xz + yz = 10
則 x^2 + 4y^2 + 5z^2 = (x - 2z)^2 + (2y - z)^2 + 4(xz + yz) ≧ 40

塗色題
設 a_n 表示有 n 個格子且無連續兩格為黑色的塗法數
若第 1 格塗黑色，則第 2 格需塗白色，有 a_(n-2) 種塗法數
若第 1 格塗白色，則有 a_(n-1) 種塗法數
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
而 a_1 = 2，a_2 = 3
a_20 = 17711

[thepiano]

四邊形 ABCD 中，AB = BC = CD = 1，AD = √3
m，n 分別為 △ACD 和 △ABC 之面積，求 m^2 + n^2 之最大值

請參考附件