104 鳳山高中

[thepiano]

第 6 題
設有 n 個 1 和 (95 - n) 個 -1
兩兩乘積和 = [(a_1 + a_2 + ... + a_95)^2 - (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_95^2)] / 2 = [(2n - 95)^2 - 95] / 2
43 ≦ n ≦ 52 時，[(2n - 95)^2 - 95] / 2 ＜ 0
故 n = 42 or 53 時，[(2n - 95)^2 - 95] / 2 有最小正值 13


第 12 題
20n^2 + 9n + 1 ≡ n + 1 (mod 4)
由於完全平方數 ≡ 0 or 1 (mod 4)
故 n ≡ 0 or 3 (mod 4)

20n^2 + 9n + 1 = (4n + 1)(5n + 1)
n 用 3、4、7、8、11、12、......一一代入上式檢驗
可知所求為 n = 72，此時 20n^2 + 9n + 1 = 289 * 361 = (17 * 19)^2 = 323^2

[thepiano]

第 7 題
取球過程中，白球數一直大於紅球數的機率是 (12 - 8)/(12 + 8) = 1/5
故 P(A) = 1 - 1/5 = 4/5

[thepiano]

第 3 題
AB = BC = 1，AC = 2
∠APB = 45 度，∠BPC = 30 度，∠APC = 75 度
△APB = △BPC
(1/2) * AP * BP * sin45 度 = (1/2) * CP * BP * sin30 度
CP = √2AP
令 AP = x，CP = √2x
由餘弦定理，[x^2 + (√2x)^2 - 2^2]/(2 * x * √2x) = cos75 度 = (√6 - √2)/4
x^2 = (16 + 4√3)/13

作 PH 垂直 AC 於 H
△APC = (1/2) * AC * PH = (1/2) * AP * CP * sin75 度
2 * PH = √2 * [(16 + 4√3)/13] * [(√6 + √2)/4]
PH = (7 + 5√3)/13


第 16 題
作 MH 垂直直線 AP 於 H，則 NH 亦垂直直線 AP
∠MPA = 120 度，∠MPH = 60 度
令 AB = AP = 2，PM = MN = 1，MH = NH = √3/2
由餘弦定理，cosθ = cos∠MHN = [(√3/2)^2 + (√3/2)^2 - 1^2]/(2 * √3/2 * √3/2) = 1/3


計算第 2 題
請參考附件

[Tanya]

第 7 題
取球過程中，白球數一直大於紅球數的機率是 (12 - 8)/(12 + 8) = 1/5
故 P(A) = 1 - 4/5 = 1/5

.....為什麼要減4/5???

[thepiano]

為什麼要減4/5???

打反了，已更正

[leo790124]

第16題
請問可以搭配圖來說明嗎 有點抽象!!!!!

第7題
為什麼不用考慮白球小於紅球的機率呢???
謝謝

[thepiano]

第 16 題
圖有正反兩面不好畫，您可實際做一個四面體來觀察

第 7 題
因為全部的球都要取完，而紅球較少，不可能發生紅球數一直大於白球數的情形