證明一問

[ruby0519]

老師請問有一個

[thepiano]

這個會成立嗎？

[thepiano]

若 ABCDEF 是正六邊形，可用定座標的方式來證

原題即是要證明
P 到 AB 的距離 + P 到 EF 的距離 + P 到 CD 的距離 = P 到 AF 的距離 + P 到 BC 的距離 + P 到 DE 的距離

令
A(-a/2，√3a/2)，B(a/2，√3a/2)，C(a，0)，D(a/2，-√3a/2)，E(-a/2，-√3a/2)，F(-a，0)，P(s，t)，其中 a，s，t ＞ 0，s ＜ a，t ＜ √3a/2
P 到 AB 的距離 = i
P 到 EF 的距離 = j
P 到 CD 的距離 = k

則
直線 AB 之方程式為 y - √3a/2 = 0
直線 EF 之方程式為 √3x + y + √3a = 0
直線 CD 之方程式為 √3x - y - √3a = 0
i + j + k = (√3a/2 - t) + (√3s + t + √3a)/2 + |√3s - t - √3a|/2 = (√3a/2 - t) + (√3s + t + √3a)/2 + (-√3s + t + √3a)/2 = 3√3a/2

而
P 到 DE 的距離 = √3 - i
P 到 BC 的距離 = √3 - j
P 到 AF 的距離 = √3 - k

故
P 到 AB 的距離 + P 到 EF 的距離 + P 到 CD 的距離 = P 到 AF 的距離 + P 到 BC 的距離 + P 到 DE 的距離