不等式+線性規畫+機率
版主: thepiano
Re: 不等式+線性規畫+機率
第 1 題
f(x) = x^2 - 2mx + (m + 3)
對稱軸 x = m
(1) D = (-2m)^2 - 4(m + 3) ＜ 0
(1 - √13)/2 ＜ m ＜ (1 + √13)/2 ......(a)
(2) D ≧ 0
m ≧ (1 + √13)/2 或 m ≦ (1 - √13)/2
畫圖可知，f(x) 在區間 [-1，2] 要恆正，須滿足以下兩條件
(i) f(-1) ＞ 0，m ＜ -1
-4/3 ＜ m ＜ -1
(ii) f(2) ＞ 0，m ＞ 2
2 ＜ m ＜ 7/3
取 (2) 之交集
(1 + √13)/2 ≦ m ＜ 7/3，-4/3 ＜ m ≦ (1 - √13)/2 ......(b)
再取 (a) 和 (b) 之聯集，即為答案
第 2 題
該聯立不等式之圖形是以 (0，0)，(4，0)，(0，4) 為三頂點之三角形
(y + 3)/(x - 5) 視為點 (x，y) 到 (5，-3) 之斜率
易知最大值為 (0，0) 和 (5，-3) 連線之斜率
第 3 題
所有情形：3! 種
(1) 三封信全放對：1 種情形
(2) 恰有一封信放對：3 種情形
f(x) = x^2 - 2mx + (m + 3)
對稱軸 x = m
(1) D = (-2m)^2 - 4(m + 3) ＜ 0
(1 - √13)/2 ＜ m ＜ (1 + √13)/2 ......(a)
(2) D ≧ 0
m ≧ (1 + √13)/2 或 m ≦ (1 - √13)/2
畫圖可知，f(x) 在區間 [-1，2] 要恆正，須滿足以下兩條件
(i) f(-1) ＞ 0，m ＜ -1
-4/3 ＜ m ＜ -1
(ii) f(2) ＞ 0，m ＞ 2
2 ＜ m ＜ 7/3
取 (2) 之交集
(1 + √13)/2 ≦ m ＜ 7/3，-4/3 ＜ m ≦ (1 - √13)/2 ......(b)
再取 (a) 和 (b) 之聯集，即為答案
第 2 題
該聯立不等式之圖形是以 (0，0)，(4，0)，(0，4) 為三頂點之三角形
(y + 3)/(x - 5) 視為點 (x，y) 到 (5，-3) 之斜率
易知最大值為 (0，0) 和 (5，-3) 連線之斜率
第 3 題
所有情形：3! 種
(1) 三封信全放對：1 種情形
(2) 恰有一封信放對：3 種情形