幾題問題

[dream10]

如附件

謝謝

[thepiano]

第 1 題
設未來一年第 n 天下雨之機率為 P_n
則 P_n = P_(n - 1) * 1/3 + [1 - P_(n - 1)] * 1/2 = 1/2 - [P_(n - 1)/6]

設
P_1 = a
P_2 = 1/2 - a/6
P_3 = 1/2(1 - 1/6) + a/6^2
P_4 = 1/2(1 - 1/6 + 1/6^2) - a/6^3
P_5 = 1/2(1 - 1/6 + 1/6^2 - 1/6^3) + a/6^4
:
:
當 n 愈來愈大，P_n 會很快接近 1/2 * {1 / [1 - (-1/6)]} = 3/7

所求約 = 365 * (3/7)


第 2 題
易知 x ≠ 0，1，-1
令 t = x^(1/3) - x^(-1/3) ≠ 0
f(x) 改寫成 f(t) = (t^2 + 3)(t^2 + 2)[1/(t^3 + 3t)] = t + 2/t

所求為 f(x) ≧ 2√2，f(x) ≦ -2√2


第 3 題
(1 + x)^m * (1 + x^2)^n 展開式中 x^2 項之係數 = C(m，2) + C(n，1)
m(m - 1)/2 + n = 12
(m，n) = (1，12)，(2，11)，(3，9)，(4，6)，(5，2)

(1 + x)^m * (1 + x^2)^n 展開式中 x^3 項之係數 = C(m，3) + C(m，1) * C(n，1) = C(m，3) + mn

所求為 28


第 4 題
logx * logy = 1 + logx
易知 logx ≠ 0

logy = log(10x) / logx
y = 10^(log(10x) / logx)

又 x ＞ 0，log(10x) ≠ logx

x 之範圍為 x ＞ 0，x ≠ 1
y 之範圍為 y ＞ 0，y ≠ 10

[dream10]

謝謝鋼琴兄

但是第2題和第4題還是有一些問題

第2題
如果我假設t=x^(1/3)

原式=[(t+t^(-1)+1)]-[(t+t^(-1))]/[t^3-t^(-3)]=t+(1/t)≧2

這樣答案好像不一樣~~

但這樣可以嗎

第4題
是求"xy"兩個相乘的範圍
好像不是求個別的範圍

[thepiano]

第 2 題
若設 t = x^(1/3)
原式應 = [t^2 + t^(-2) + 1][t^2 + t^(-2)] / [t^3 - t^(-3)] = (t^4 + 1) / (t^3 - t)
這樣要求範圍就難算了......


第 4 題
就 xy ＞ 0，x ≠ 1，y ≠ 10
只是這個答案怪怪的 ......

[dream10]

恩恩~~
第4題答案感覺就怪怪的~~

沒關係~~謝謝鋼琴兄

[dream10]

令 t = x^(1/3) - x^(-1/3) ≠ 0
f(x) 改寫成 f(t) = (t^2 + 3)(t^2 + 2)[1/(t^3 + 3t)] = t + 2/t

鋼琴兄~~這個改寫的地方好像有個問題

t = x^(1/3) - x^(-1/3)

t^2=x^(2/3) + x^(-2/3)-2

所以應該不會等於題目的x^(2/3)-x^(-2/3)吧

我應該沒有展開錯吧

[thepiano]

所以應該不會等於題目的x^(2/3)-x^(-2/3)吧

題目是 x^(2/3) + x^(-2/3) 啊？

[ruby0519]

老師請問第一題
第n天下雨的機率為何會是
第n-1天下雨的機率乘上1/3再加上第n-1天不下雨的機率乘上1/2呢

老師不下雨的機率為何要加入呢
前提不是要求下雨的機率嗎

[dream10]

鋼琴兄~~抱歉~~
真是不好意思~~
原來題目我打錯~~~
[x^(2/3)+x^(-2/3)+1][x^(2/3)-x^(-2/3)][x-x^(-1)]^(-1)
才對~~~

抱歉~~真不好意思~~

[dream10]

老師請問第一題
第n天下雨的機率為何會是
第n-1天下雨的機率乘上1/3再加上第n-1天不下雨的機率乘上1/2呢

老師不下雨的機率為何要加入呢
前提不是要求下雨的機率嗎

應該是說如果前一天不下雨~~然後隔天"不"下雨的機率是1/2~~
那隔天"會"下雨的不也是1/2嗎