數學競試

[ruby0519]

如附件

[thepiano]

第 1 題
不管此三人領獎品的順序如何
所求 = (1 - 3/6)(1 - 2/6)(1 - 1/6)


第 2 題
O(0，0)，P(5，7)
A 和 B 要相遇，兩者須各走 6 單位，相遇點如下：C(0，6)，D(1，5)，E(2，4)，F(3，3)，G(4，2)，H(5，1)

A 從 O → C 有 1 種走法；B 從 P → C 有 6 種走法
A 從 O → D 有 6 種走法；B 從 P → D 有 15 種走法
A 從 O → E 有 15 種走法；B 從 P → E 有 20 種走法
A 從 O → F 有 20 種走法；B 從 P → F 有 15 種走法
A 從 O → G 有 15 種走法；B 從 P → G 有 6 種走法
A 從 O → H 有 6 種走法；B 從 P → H 有 1 種走法

所求 = 1/63 * 6/63 + 6/63 * 15/63 + 15/63 * 20/63 + 20/63 * 15/63 + 15/63 * 6/63 + 6/63 * 1/63


第 3 題
f(x) = √(ax^2 + bx) 之值域為大於或等於 0 之實數

(1) a = 0，f(x) = √(bx)，因 b ＞ 0，其定義域為大於或等於 0 之實數，合乎所求

(2) a ＞ 0，f(x) = √[x(ax + b)]，可取 x = -b/a (＜ 0)，不合

(3) a ＜ 0，f(x) = √[x(ax + b)]，定義域為 0 ≦ x ≦ -b/a
f(x) 之最大值 = f(-b/2a) = -b/a
√[b^2/(-4a)] = -b/a
a = -4

所求 = 2 個


第 4 & 6 題
http://forum.nta.org.tw/oldphpbb2/viewtopic.php?t=6878


第 5 題
題目不完整


第 7 題
點 (x，y) 對直線 y = k 鏡射後的點是 (x，2k - y)
2k - y = ax^2 + bx + c
y = -ax^2 - bx + (2k - c)
......


第 8 題
x ≧ a，y = -x + a + b
x ＜ a，y = x - a + b
上面二射線相交於 (a，b)

同理另二射線相交於 (c，d)

又兩者圖形相交於 (2，5) 和 (8，3)

亦即 ABCD 是矩形，其頂點為 A(a，b)，B(2，5)，C(c，d)，D(8，3)
......

[ruby0519]

如附件

[ruby0519]

1.老師請問第一題如果第一個人拿走全部的六分之三
不是會剩六分之三則第二個人不是就會拿走這剩下的六分之三的六分之二嗎

[thepiano]

第 3 題



半徑是 1 且能蓋住線段 AB 之圓的圓心必在黑色線之區域內
這些圓之聯集就是粉紅色區域

粉紅色區域 = (2 個半徑為 2，圓心角為 120 度之扇形) - (菱形ABCD) + (2 個半徑為 1，圓心角為 60 度之扇形)


第 5 題
P(x) * R(x) 是六次多項式
P(Q(x)) 是六次多項式，故 Q(x) 是二次多項式

P(Q(1)) = P(1) * R(1) = 0
同理 P(Q(2)) = P(Q(3)) = 0

Q(1)，Q(2) 和 Q(3) 這三者的可能值為 1 或 2 或 3

Q(1) = Q(2) = Q(3) = 1 或 2 或 3 時，Q(x) 是零次多項式
(Q(1)，Q(2)，Q(3)) = (1，2，3)，(3，2，1) 時，Q(x) 是一次多項式

所求 = 3^3 - 5


第 6 題
直線 AB 之方程式為 y = (111x - 100) / 11
依題意 111x - 100 是 11 之倍數，x 是介於 1 和 100 間的整數
111x - 100 ≡ x - 1 (mod 11)
x = 12，23，34，45，56，67，78，89


第 7 題
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=48720
http://forum.nta.org.tw/examservice/sho ... hp?t=33655


第 8 題
1 ～ 1000 的整數中是 2 或 3 或 5 之倍數的有 [1000/2] + [1000/3] + [1000/5] - [1000/6] - [1000/10] - [1000/15] + [1000/30] = 734 個
1 ～ 1000 的整數中是質數的有 168 個，不是質數也不是合數的有 1 個
1 ～ 1000 的整數中是質數，也是 2 或 3 或 5 之倍數的有 3 個
所求 = 1000 - 734 - 168 - 1 + 3


其餘題目不完整！


另一題
第 5 題
令該整係數四次多項式 = (x - a)(x - b)(x^2 + cx + d)
易知 c 和 d 都是整數

x^2 + cx + d = 0 之二根為 = [-c ± √(c^2 - 4d)] / 2
由題目之選項知 c^2 - 4d ＜ 0
c^2 - 4d = (4d - c^2)i

第 1 個選項：c = -1，d = 3，合
第 2 個選項：c = -1，d = 1/2，不合
第 3 個選項：c = -1，d = 3/4，不合
第 4 個選項：c = -2，d = 5/4，不合
第 5 個選項：c = -1，d = 7/2，不合

[thepiano]

1.老師請問第一題如果第一個人拿走全部的六分之三
不是會剩六分之三則第二個人不是就會拿走這剩下的六分之三的六分之二嗎

對啊，第二個人拿走全部的 (1 - 3/6) * 2/6，剩下全部的 (1 - 3/6)(1 - 2/6)

[ruby0519]

第 3 題
f(x) = √(ax^2 + bx) 之值域為大於或等於 0 之實數

(1) a = 0，f(x) = √(bx)，因 b ＞ 0，其定義域為大於或等於 0 之實數，合乎所求

(2) a ＞ 0，f(x) = √[x(ax + b)]，可取 x = -b/a (＜ 0)，不合

(3) a ＜ 0，f(x) = √[x(ax + b)]，定義域為 0 ≦ x ≦ -b/a
f(x) 之最大值 = f(-b/2a) = -b/a
√[b^2/(-4a)] = -b/a
a = -4

所求 = 2 個

老師我不懂為何紅色字的部份
怎會等於-b/a呢
謝謝老師

[thepiano]

因為題目有說 f(x) 的定義域及值域要相同
(3) x 之定義域為 [0，-b/a]
故 f(x) 之值域亦為 [0，-b/a]，即 f(x) 之最大值為 -b/a