108 新竹市國中

[thepiano]

請參考附件，題目檔超過 2MB，分成兩個檔

完整題目檔網址
http://www.pijh.hc.edu.tw/modules/tad_w ... 數學專門科目.pdf

[thepiano]

第 26 題
題目有誤，應是去程的時間比返家所用的時間 "少" 20 分鐘

[lovecatbest63]

老師您好
想請教5、19、26、43
謝謝

[thepiano]

第 5 題
8^nx^2 - 2^n(2^n + 1)x + 1 = 0
(2^nx - 1)(4^nx - 1) = 0
x = 1/2^n or 1/4^n

L_n = 1/2^n - 1/4^n

limL_n (n = 1 ~ ∞)
= lim(1/2^n) (n = 1 ~ ∞) - lim(1/4^n) (n = 1 ~ ∞)
= 1/2 / (1 - 1/2) - 1/4 / (1 - 1/4)
= 2/3


第 19 題
m / n = (m + k) / (nk)
m = (m + k) / k
k = m / (m - 1)
m = 2

1/3 ＜ 2/n ＜ 1
n = 3、4、5
但 (m，n) = 1，故 n = 3、5


第 26 題
題目有誤，應是去程的時間比返家所用的時間 "少" 20 分鐘
設小明家到媽祖廟 x 公尺
(x/2) / 80 + (x/2) / 240 = (x/3) / 240 + (2x/3) / 80 - 20
x = 14400 (公尺) = 14.4 (公里)
早上走路 (14400/2) / 80 = 90 分鐘
下午騎車 (14400/3) / 240 = 20 分鐘
下午走路 (28800/3) / 80 = 120 分鐘 = 2 小時


第 43 題
(A) 由正弦定理，可設 BC = 6x、AC = 7x、AB = 14x，x ＞ 0
但如此 BC + AC ＜ AB，非三角形

(B) ∠A = ∠B = ∠C = 60 度，是正三角形

(C) 1 - (sinA)^2 + 1 - (sinB)^2 ＞ 1 + 1 - (sinC)^2
(sinA)^2 + (sinB)^2 ＜ (sinC)^2
BC^2 + AC^2 ＜ AB^2
是鈍角三角形

(D) 由正弦定理
(√3 + 1) / sinC = 2 / sinB = 2 / (1/√2)
sinC = (√6 + √2) / 4
∠C = 75 度，∠A = 60 度
是銳角三角形

[mathgo]

鋼琴老師好

想要請教 2.11.14.15.28.36

謝謝老師 !!

[thepiano]

第 2 題
和化積，以下"度"省略
(sin 10 + sin40) / (cos10 + cos40)
= (2sin25cos15) / (2cos25cos15)
= sin25 / cos25
= tan25


第 11 題
S = 1 + 2 * (1/2019) + 3 * (1/2019)^2 + 4 * (1/2019)^3 + ......
(1/2019)S = (1/2019) + 2 * (1/2019)^2 + 3 * (1/2019)^3 + ......
(2018/2019)S = 1 + (1/2019) + (1/2019)^2 + (1/2019)^3 + ...... = 1 / (1 - 1/2019)
S = (2019 / 2018)^2


第 14 題
b 是方程式 7x^2 + 2019x + 3 = 0 之一根
(1/a) 也是方程式 7x^2 + 2019x + 3 = 0 之一根
由根與係數 b/a = b * (1/a) = 3/7
其實這樣做有瑕疵，b/a 還有其它可能


第 15 題
x = x' + 1，y = y' + 1
3 ＜ x' + y' ≦ 8
所求 = H(2，8) + H(2，7) + H(2，6) + H(2，5) + H(2，4)
= C(9，8) + C(8，7) + C(7，6) + C(6，5) + C(5，4)
= 35


第 28 題
(A) 應是力的平衡吧？
(B) 反例：過正三角形重心作其中一邊的平行線，會將正三角形平分為一個三角形和一個梯形，此時三角形和梯形面積比是 4：5
(D) 平分三角形面積的直線，不一定過重心


第 36 題
Σ[1 / (1 + 2 + 3 + ... + n)] (n = 2 ~ 100)
= Σ{1 / [n(n + 1) / 2]} (n = 2 ~ 100)
= 2Σ[1/n - 1/(n + 1)] (n = 2 ~ 100)
= 2 * (1/2 - 1/101)
= 99/101

[yin]

鋼琴老師好！
想請教第20題
我只有算出x=-1,2,0這三個整數解
請問第四個如何找呢？

[thepiano]

第20題
我只有算出x=-1,2,0這三個整數解
請問第四個如何找呢？

還有 -2

[siuol]

第 26 題
題目有誤，應是去程的時間比返家所用的時間 "少" 20 分鐘

題目應該沒錯
去程的「路程」一半走路一半騎車
回程的「時間」2/3走路 1/3騎車

所以假設
去程花x+20 分鐘
回程花x 分鐘

且去程兩樣交通工具花的時間比和速度成反比（因為距離都是整段路的一半）
所以去程中
1/4的時間是騎車
3/4的時間走路

整段路的距離一樣
所以
1/3•x•240+2/3•x•80=1/4(x+20)•240+3/4(x+20)•80

解得x=180
在分別代進選項看看囉

[thepiano]

第 26 題
題目沒問題，是小弟看錯題目
不過應是 "去程" 的路程一半走路一半騎車，而不是 "全程"