108 台東縣國中

[thepiano]

題目檔太大，分成三個

原檔連結
http://portal.ttct.edu.tw/bulletin/atta ... a_sn=39985

[sannica0808]

老師，我想請教第2、4、6、8、25、33題，謝謝老師！

[thepiano]

第 2 題
三人每人任選 3 天，有 [C(5，3)]^3 = 1000 種

(1) 恰有 2 天無人值日
即三人都同 3 天值日，有 C(5，3) = 10 種

(2) 恰有 1 天無人值日
(i) 例：(A、B、C)，(A、B、C)，(A、B)，(C)
有 C(3，1) * (4!/2!) = 36 種
(ii) (A、B、C)，(A、B)，(A、C)，(B、C)
有 4! = 24 種
小計 C(5，1) * (36 + 24) = 300 種

所求 = 1000 - 10 - 300 = 690 種


第 4 & 8 題
請參考附件


第 6 題
{-1、-9、-17}：除以 8 餘 7
{-2、-10、-18}：除以 8 餘 6
{-3、-11、-19}：除以 8 餘 5
{-4、-12、-20}：除以 8 餘 4
{-5、-13}：除以 8 餘 3
{-6、-14}：除以 8 餘 2
{-7、-15}：除以 8 餘 1
{-8、-16}：除以 8 餘 0
若選出的數均無相差為 8，最多可以選出 12 個
即 {-1、-17、-2、-18、-3、-19、-4、-20、-5、-6、-7、-8} 或 {-1、-17、-2、-18、-3、-19、-4、-20、-13、-14、-15、-16}，......
再多一個，則選出的數中，必有兩數相差為 8


第 25 題
(1) x ≧ 0
x + 1 = x^2 - 3x - 4
......

(2) x ＜ 0
- x + 1 = x^2 - 3x - 4
......



第 33 題
Q(a，b)，其中 a ＞ 0，b ＞ 0
直線 OP：√3x + 2y = 0
Q 到直線 OP 的距離 = (√3a + 2b) / √7
要使 △OPQ 的面積最大，則 Q 到直線 OP 的距離要最大，即 √3a + 2b 要有最大值

[(a/4)^2 + (b/2)^2][(4√3)^2 + 4^2] ≧ (√3a + 2b)^2
等號成立於 a = 2√3b，代入 a^2/16 + b^2/4 = 1，即能解出 a 和 b

[sannica0808]

好的，謝謝老師的解釋！

[sannica0808]

想再請教您第11、28、29、48題，謝謝老師！

另外，想請問第50題，我是一開始便以△ABC為正三角形的想法出發並順利作答，但若△ABC並不是正三角形的情況，應該如何作答呢？

[thepiano]

第 11 題
請參考附件


第 28 題
作直線 BF 交直線 L 於 F'，在直線 BF 上取 F'B' = FB 且 AB' 平行直線 L
AB = 100，BB' = 30 * 2 + 20 = 80，AB' = 60

AEF'B' 是長方形
在 EF' 上取一點 N，使 AN + B'N 有最小值，易知 N 為 EF' 中點時，有 AN + B'N 最小值

作 NH 垂直直線 M 於 H
從 A 走到 B 的距離 = AN + NH + HB = AN + NH + B'N，其最小值 = 60√2 + 20


第 29 題
∠CBD = 15 度，∠ABD = ∠C = 45 度，∠BAD = 75 度
AD / sin45度 = BD / sin75度
BD / sin45度 = CD / sin15 度
AD / CD = (sin45度)^2 / (sin75度 * sin15度) = 2 / 1


第 48 題
∠APC = ∠APB = 60 度
∠PAC = ∠PBD
△PAC 和 PBD 相似
PA / PB = PC / PD
PA * PD = PB * PC = 24


第 50 題
這題 BD * CF = 1
∠BMD = ∠CMF = 60 度
再用正弦定理可求出答案
就留給您了

[sannica0808]

請問老師，第50題的BD*CF=1是從哪裡得知的呢？

[thepiano]

第50題的BD*CF=1是從哪裡得知的呢？

BD / AB = DE / AC
BD / (BD + 1) = 1 / (CF + 1)

[sannica0808]

好的了解！老師，最後一個問題！
同一題，∠BMD=∠CMF=60度，60度是怎麼看出來的呢？

[thepiano]

DF 是那兩個圓之公切線