108 松山工農

[thepiano]

請參考附件

[thepiano]

第 2 題
答案更正為 -7

第 5 題
送分

[thepiano]

第 16 題
O(0，0，0)、A(0，0，6)、B(0，0，20)、P(x，y，0)

令 OP = r
tan∠APB = (20/r - 6/r) / [1 + (20/r)(6/r)] ≧ 1 / √3
4√3 ≦ r ≦ 10√3

又 0 ≦ x ≦ 15，0 ≦ y ≦ 15

OM = OK = 15，OD = OE = 10√3，OF = OG = 4√3
DM = EK = 5√3
∠DOM = ∠DOE =∠EOK = 30 度

所求為黃色部份的面積 = 75√3 + 13π

[thepiano]

第 10 題
三角形的三頂點為 O(0，0)，A(n^2，0)，B(0，n)

OA 邊上有 (n^2 - 1) 個格子點，不含 O 和 A
OB 邊上有 (n - 1) 個格子點，不含 O 和 B
gcd(n^2，n) = n，AB 邊上有 (n - 1) 個格子點，不含 A 和 B
故三邊上有 (n^2 - 1) + (n - 1) + (n - 1) + 3 = (n^2 + 2n) 個格子點

內部有 [(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2 = (n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2 個格子點
長方形內部扣掉對角線上的再砍一半

所求 = (n^2 + 2n) + [(n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2] = (n^3 + n^2 + 2n + 2) / 2 個格子點

[LATEX]

請問填充3, 謝謝

[thepiano]

第 3 題
先求出 cos角FAD 和 DF^2
利用 CE^2 = DF^2. 可求出 cos角EAC
剩下就簡單了

[LATEX]

CE^2 = CF^2 是為何？

[thepiano]

打錯了，應是 CE^2 = DF^2

[koeagle]

坐標化：A(0,0,0)、B(5,0,0)、D(0,y_1,z_1)、F(0,y_2,z_2)、C(5,y_1,z_1)、E(5,y_2,z_2)
所求=25+11=36

[LATEX]

填10
內部有 [(n^2 - 1)(n - 1) - (n - 1)] / 2 = (n^3 - n^2 - 2n + 2) / 2 個格子點
長方形內部扣掉對角線上的再砍一半
是為何？