請教幾題動動腦題目
版主: thepiano
Re: 請教幾題動動腦題目
第 1 題
N = x * 10^4 + y
M = 10y + x
10y + x = 3(x * 10^4 + y) - 4946
y = (29999x - 4946) / 7
x 用 1 ~ 9 代入檢驗
......
第 2 題
(a + 1)(b + 1) = n + 1
n = 5，(a + 1)(b + 1) = 2 * 3
n = 7，(a + 1)(b + 1) = 2 * 4
......
第 3 題
總個數是 140
兩人拿走的個數和是 3 的倍數
......
第 4 題
1/a + 1/b = 1/2017
2017b + 2017a = ab
(a - 2017)(b - 2017) = 2017^2 = 4068289 * 1 = (-1) * (-4068289)
......
第 5 題
b = 2 - a
√(a^2 + 4) + √(b^2 + 1)
= √(a^2 + 4) + √[(2 - a)^2 + 1]
= √(a^2 + 2^2) + √[(a - 2)^2+ 1^2]
視為 x 軸上一點 (a，0) 到 (0，2) 和 (2，1) 的距離和
第 6 題
所求 = 長方形 AFGD 面積
設直線 OE 交圓於另一點 H
EH 和 FG 交於 K
利用 EK * HK = FK * GK，可得 EK 之長
......
第 7 題
答案是 150 度
第 8 題
(n^2 + n - 90) / 125
= (n + 10)(n - 9) / 125
n + 10 和 n - 9，相差 19，不可能同為 5 或 25 的倍數
故 n 最小 9，第二小 115
N = x * 10^4 + y
M = 10y + x
10y + x = 3(x * 10^4 + y) - 4946
y = (29999x - 4946) / 7
x 用 1 ~ 9 代入檢驗
......
第 2 題
(a + 1)(b + 1) = n + 1
n = 5，(a + 1)(b + 1) = 2 * 3
n = 7，(a + 1)(b + 1) = 2 * 4
......
第 3 題
總個數是 140
兩人拿走的個數和是 3 的倍數
......
第 4 題
1/a + 1/b = 1/2017
2017b + 2017a = ab
(a - 2017)(b - 2017) = 2017^2 = 4068289 * 1 = (-1) * (-4068289)
......
第 5 題
b = 2 - a
√(a^2 + 4) + √(b^2 + 1)
= √(a^2 + 4) + √[(2 - a)^2 + 1]
= √(a^2 + 2^2) + √[(a - 2)^2+ 1^2]
視為 x 軸上一點 (a，0) 到 (0，2) 和 (2，1) 的距離和
第 6 題
所求 = 長方形 AFGD 面積
設直線 OE 交圓於另一點 H
EH 和 FG 交於 K
利用 EK * HK = FK * GK，可得 EK 之長
......
第 7 題
答案是 150 度
第 8 題
(n^2 + n - 90) / 125
= (n + 10)(n - 9) / 125
n + 10 和 n - 9，相差 19，不可能同為 5 或 25 的倍數
故 n 最小 9，第二小 115
Re: 請教幾題動動腦題目
第 1 題
x + 13 = m^2
x - 76 = n^2
m^2 - n^2 = 89
......
第 2 題
P(0，1 - m)，Q(0，m^2 - 3)
兩點以 x 為對稱軸，即兩點的中點在 x 軸上
......
第 3 題
若 a、b、c 均為奇數，則 abc - (a + b + c) 為偶數，不合題意
若 a、b、c 只有一為 2，則 abc - (a + b + c) 為偶數，不合題意
若 a、b、c 均為 2，則 abc - (a + b + c) 為偶數，不合題意
故 a、b、c 有二個為 2
......
第 4 題
□3▽5◎
5◎ 是 9 的倍數，◎ = 4
□3 是 9 的倍數，□ = 6
63▽54 是 9 或 11 的倍數
......
第 5 題
( 3 元枚數，5 元枚數)
(0，1)、(0，2)、(0，3)、(0，4)、(0，5)
(1，0)、(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)
(2，0)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)
(3，0)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(3，5)
第 6 題
轎車速率 v_1，貨車速率 v_2，客車速率 v_3
前後車相距 x
x / (v_1 - v_2) = 10
2x / (v_1 - v_3) = 15
20(v_1 - v_2) = 15(v_1 - v_3)
v_1 = 4v_2 - 3v_3
所求 = x / (v_2 - v_3)
......
第 7 題
M 是直角△ACL 之外心
令 ∠ACK = θ
∠CAM = ∠KAM = θ
BK = BC
∠KCB = ∠CKB = 3θ
......
x + 13 = m^2
x - 76 = n^2
m^2 - n^2 = 89
......
第 2 題
P(0，1 - m)，Q(0，m^2 - 3)
兩點以 x 為對稱軸，即兩點的中點在 x 軸上
......
第 3 題
若 a、b、c 均為奇數，則 abc - (a + b + c) 為偶數，不合題意
若 a、b、c 只有一為 2，則 abc - (a + b + c) 為偶數，不合題意
若 a、b、c 均為 2，則 abc - (a + b + c) 為偶數，不合題意
故 a、b、c 有二個為 2
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第 4 題
□3▽5◎
5◎ 是 9 的倍數，◎ = 4
□3 是 9 的倍數，□ = 6
63▽54 是 9 或 11 的倍數
......
第 5 題
( 3 元枚數，5 元枚數)
(0，1)、(0，2)、(0，3)、(0，4)、(0，5)
(1，0)、(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)
(2，0)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)
(3，0)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(3，5)
第 6 題
轎車速率 v_1，貨車速率 v_2，客車速率 v_3
前後車相距 x
x / (v_1 - v_2) = 10
2x / (v_1 - v_3) = 15
20(v_1 - v_2) = 15(v_1 - v_3)
v_1 = 4v_2 - 3v_3
所求 = x / (v_2 - v_3)
......
第 7 題
M 是直角△ACL 之外心
令 ∠ACK = θ
∠CAM = ∠KAM = θ
BK = BC
∠KCB = ∠CKB = 3θ
......
Re: 請教幾題動動腦題目
第 1 題
10 = 2 * 5
250 = 2 * 5^3
所求就是 1 ~ 2018 的整數中，10 的倍數個數 - 50 的倍數個數
第 2 題
考慮 1/7、2/7、......、6/7 化成循環小數
第 3 題
即從 1、2、3、......、673 這些整數中
至少要取出多少個不同的數，才能使取出的數中，一定有兩個數的和為 678
考慮最極端的情形
......
10 = 2 * 5
250 = 2 * 5^3
所求就是 1 ~ 2018 的整數中，10 的倍數個數 - 50 的倍數個數
第 2 題
考慮 1/7、2/7、......、6/7 化成循環小數
第 3 題
即從 1、2、3、......、673 這些整數中
至少要取出多少個不同的數，才能使取出的數中，一定有兩個數的和為 678
考慮最極端的情形
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