110 臺南女中

[thepiano]

請參考附件

秉持優良傳統，計算題給詳解

官方更正答案
第 10 題 23/9
第 19 題 48

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第 13 題
若全部 100 個同學都有來，應是完全平方數 (有 10 個) 會打開
但 6 號同學沒來，故 36 號門，被按了偶數次，是關閉，其餘 9 扇門是打開

1 ~ 100 中，除了 36 外，6 的倍數有 [100 / 6] - 1 = 15 個
編號是這 15 個數的門，也會被按奇數次，是打開

故所求 = 9 + 15 = 24

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第 11 題
每次操作後，黑球的數量一直維持偶數，所以剩 1 顆黑球的機率是 0


第 16 題
| t^2 - √[(t^2 - 5)^2 + (2t - 3)^2] |
= | √[(t^2 - 5)^2 + (2t - 3)^2]- t^2|
= | √[(t^2 - 5)^2 + (2t - 3)^2]- (t^2 + 1) + 1 |
= | AB - AF + 1 |
≦ | BF + 1 |
= 6
等號成立於 A、F、B 共線，且 F 在線段 AB 上

√[(t^2 - 5)^2 + (2t - 3)^2] 是拋物線 y^2 = 4x 上一點 A(t^2，2t) 到 B(5，3) 的距離
焦點 F(1，0)，t^2 + 1 是 A 到準線 x = -1 的距離 = AF

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第 5 題
Ellipse 兄的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid22513

想不到的話，也可參考附件中的方法

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第 3 題
設 AC 和 OB 交於 E
AE / CE = 12 / 40 = 3 / 10

△AOE = 18 * (10/13) = 180/13
△ABE = 20 - 180/13 = 80/13
OE / BE = (180/13) / (80/13) = 9 / 4

向量 OE = (3/13)向量 OA + (10/13)向量 OC
向量 OB = (13/9)(3/13)向量 OA + (13/9)(10/13)向量 OC = (1/3)向量 OA + (10/9)向量 OC

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第 8 題
Z_1 = 2(cosα + isinα)，Z_ 2 = 3(cosβ + isinβ)
3Z_1 - 2Z_2 = 3/2 - i

6(cosα - cosβ) = 3/2
-12sin[(α + β)/2]sin[(α - β)/2] = 3/2

6(sinα - sinβ) = -1
12cos[(α + β)/2]sin[(α - β)/2] = -1

tan[(α + β)/2] = 3/2
sin(α + β) = 12/13，cos(α + β) = -5/13

Z_1Z_2 = 6[cos(α + β) + isin(α + β)]
= (-30/13) + (72/13)i

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第 7 題
這題很多學校考過了 ......

轉彎的情形有 "→↑" 和 "↑→"
捷徑之走法相當於把 5 個 → 和 4 個 ↑ 排成一列的排法
"→↑" 可放的位置有 8 個，其餘的 4 個 → 和 3 個 ↑ 有 C(7，4) 種排法
同理，"↑→" 亦同
所求 = [C(7，4) * 8 * 2] / C(9，5) = 40/9

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想請教填充第4題，謝謝!

[thepiano]

第 4 題
考您的耐心，請參考附件

[lovejade]

第 4 題
考您的耐心，請參考附件

謝謝piano老師，一直想不到要怎麼拆才對，感謝解惑!