96南區第39題

[oxoxooa]

39.
1個圓可以把平面分成兩個部份(圓的內部與外部)，2個圓最多可以把平面分成4個部分，3個圓最多可以把平面割成8個部份。
請問10個圓可以把平面分割成幾個部份？


答案是92。到底怎麼算的呢?

感謝鋼琴老師

[thepiano]

綠點：原有的交點
紅點：新增的交點
新增 1 個交點就多 1 個區域

一個圓：2 個

二個圓：新增 2 個交點 → 2 + 2 個

三個圓：新增 4 個交點 → 2 + 2 + 4 個

四個圓：新增 6 個交點 → 2 + 2 + 4 + 6 個

五個圓：新增 8 個交點 → 2 + 2 + 4 + 6 + 8 個
：
：
：
n 個圓：新增 2(n - 1) 個交點 → 2 + 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2(n - 1) 個

2 + 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2(n - 1)
= 2 + {[2 + 2(n - 1)] * (n - 1)} / 2
= 2 + n(n - 1)
= n^2 - n + 2