111 新竹女中

[thepiano]

請參考附件

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計算第 3 題
那個唯一的銳角三角形，是圖中黃色三角形
分左圖和右圖兩種情形討論

左圖的綠色五邊形有 5 種分成 3 個鈍角三角形的方法
右圖的紅色四邊形有 2 種分成 2 個鈍角三角形的方法

故左圖有 5 * 5 * 1 = 25 種分法，右圖有 2 * 2 * 5 = 20 種分法

由於每圖都可旋轉出 10 種，故所求 = (25 + 20) * 10 = 450 種分法

[lovejade]

想請問第3題，謝謝

[thepiano]

第 3 題
參考這篇文章 http://shs.edu.tw/works/essay/2019/10/2 ... 261859.pdf

先算巴斯卡三角形第 2022 列的這 2023 個數字中有幾個不為 3 的倍數
2022 化成三進位是 2202220
故有 3^5 = 243 個數不為 3 的倍數

所求 = 2023 - 243 = 1780

[lovejade]

想請問第6題，謝謝

[thepiano]

第 6 題
見圖

[lovejade]

想請問第7題，積分的上界是怎麼找的呢?為什麼是從-1積到1呢?

[thepiano]

您看到的應是 Math.Pro 上的解法
直接在該討論串發問即可

[lovejade]

好的!非常感謝老師

想再請問一下第10跟11題，謝謝

[thepiano]

第 10 題
參考 satsuki931000 老師的做法
https://math.pro/db/viewthread.php?tid= ... 1#pid23905


第 11 題
y^2 = x 代入 (x - 4)^2 + y^2 = r^2
整理可得 x^2 - 7x + 16 - r^2 = 0

令 P(a，√a)、Q(a，- √a)、R(b，- √b)、S(b，√b)，其中 0 ＜ a ＜ b
a + b = 7，ab = 16 - r^2

(1) 由 r ＞ 0，16 - r^2 ＞ 0 及 (-7)^2 - 4(16 - r^2) ＞ 0
可得 √15 / 2 ＜ r ＜ 4

(2) PQRS = (1/2)(2√a + 2√b)(b - a) = (√a + √b)(b - a)
PQRS^2 = [a + b + 2√(ab)][(a + b)^2 - 4ab] = [7 + 2√(16 - r^2)][49 - 4(16 - r^2)] = [7 + 2√(16 - r^2)](4r^2 - 15)
令 t = √(16 - r^2)，r^2 = 16 - t^2
PQRS^2 = (7 + 2t)(49 - 4t^2) = (7 + 2t)^2 * (7 - 2t) = (1/2)(7 + 2t)(7 + 2t)(14 - 4t) ≦ (1/2){[(7 + 2t) + (7 + 2t) + (14 - 4t)] / 3}^3 = (1/2)(28/3)^3
等號成立於 7 + 2t = 14 - 4t，即 t = 7/6 時

設 PR 和 QS 的交點 M(m，0)
m = a + (b - a) * [√a / (√a + √b)] = a + (√b - √a)√a = √(ab) = t = 7/6