111 臺北市國中

[thepiano]

請參考附件

數學在第 41 ~ 80 題

[eric6204]

老師請教一下，50，59，67，69，70，76，77，79題，感謝老師

[thepiano]

第 50 題
C(3，2) * (1/7)^2 * (6/7)


第 59 題
正方形有 4 條對稱軸
分別是過 P 的水平線、過 P 的鉛直線、直線 AC 和直線 BD
Q 的可能選擇有 8 * 4 = 32 種


第 67 題
先考慮有 0，再扣掉首位是 0
選到的數字由小而大排列
所求 = C(10，6) - C(9，5)


第 69 題
拼成的長方形，長 (x + y) + y = x + 2y，寬 y，面積 = (x + 2y)y
故 (x + y)^2 = (x + 2y)y
x^2 + xy - y^2 = 0
x = - y ± √[y^2 - 4(-y^2)] / 2 = [(- 1 ± √5) / 2]y，負不合


第 70 題
x = √[1 + 2√(1 + 2 ...
x^2 = 1 + 2√[1 + 2√(1 + 2 ...
x^2 = 1 + 2x
x = 1 ± √2，負不合


第 76 題
今年學測數 A 第 1 題
C(n，2) ＞ 100
n ≧ 15
最少要準備 15 桶不同口味的冰淇淋

(1) 兩球都選相同口味：15 種

(2) 兩球選不同口味：C(15，2) = 105 種

所求 = 15 + 105


第 77 題
六支隊伍 A、B、C、D、E、F
每隊都比了 2 * 5 = 10 場
設最高分的三支球隊是 A、B、C
最高分的情形是 A、B、C 都贏 D、E、F 兩場，而 A、B、C 三隊彼此之間都是一勝一負
故所求 = 3 * (2 * 3 + 2) = 24 分


第 79 題
QA / QB = QX / QY = AX / BY = 1 / 2
QA = AB，QX = XY

在梯形 AXYB 中
XY^2 + (2 - 1)^2 = (2 + 1)^2
XY = 2√2
QX = 2√2，QA = AB = 3

設 CZ = r
在 △QCZ 中
QA / QC = AX / CZ
3 / (8 + r) = 1 / r
r = 4

YZ = √[(4 + 2)^2 - (4 - 2)^2] = 4√2

XZ = 2√2 + 4√2 = 6√2

[vivian3752]

請教老師，
71，72，73題，
謝謝老師

[thepiano]

第 71 題
令 Σ(1/k) (k = 2 ~ 2022) = t

求值式 = (1 - t)(t + 1/2023) - (1 - t - 1/2023)t
= t + 1/2023 - t^2 - t/2023 - t + t^2 + t/2023
= 1/2023


第 72 題
x + 1/x = √5
x^2 + 1/x^2 = (x + 1/x)^2 - 2 = 3
x^4 + 1/x^4 = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2 = 7

x^13 - 7x^9 + x^5
= x^9(x^4 - 7 + 1/x^4)
= 0


第 73 題
x = [- p ± √(p^2 + 1776p)] / 2 是整數
故 p^2 + 1776p 是完全平方數

p^2 + 1776p = p(p + 2^4 * 3 * 37)

當 p = 2
p(p + 2^4 * 3 * 37) = 2^2 * (1 + 888)，889 非完全平方數

當 p = 3
p(p + 2^4 * 3 * 37) = 3^2 * (1 + 592)，593 非完全平方數

當 p = 37
p(p + 2^4 * 3 * 37) = 37^2 * (1 + 48)，49 是完全平方數

[yellow0617]

第 50 題
C(3，2) * (1/7)^2 * (6/7)


第 59 題
正方形有 4 條對稱軸
分別是過 P 的水平線、過 P 的鉛直線、直線 AC 和直線 BD
Q 的可能選擇有 8 * 4 = 32 種


第 67 題
先考慮有 0，再扣掉首位是 0
選到的數字由小而大排列
所求 = C(10，6) - C(9，5)


第 69 題
拼成的長方形，長 (x + y) + y = x + 2y，寬 y，面積 = (x + 2y)y
故 (x + y)^2 = (x + 2y)y
x^2 + xy - y^2 = 0
x = - y ± √[y^2 - 4(-y^2)] / 2 = [(- 1 ± √5) / 2]y，負不合


第 70 題
x = √[1 + 2√(1 + 2 ...
x^2 = 1 + 2√[1 + 2√(1 + 2 ...
x^2 = 1 + 2x
x = 1 ± √2，負不合


第 76 題
今年學測數 A 第 1 題
C(n，2) ＞ 100
n ≧ 15
最少要準備 15 桶不同口味的冰淇淋

(1) 兩球都選相同口味：15 種

(2) 兩球選不同口味：C(15，2) = 105 種

所求 = 15 + 105


第 77 題
六支隊伍 A、B、C、D、E、F
每隊都比了 2 * 5 = 10 場
設最高分的三支球隊是 A、B、C
最高分的情形是 A、B、C 都贏 D、E、F 兩場，而 A、B、C 三隊彼此之間都是一勝一負
故所求 = 3 * (2 * 3 + 2) = 24 分


第 79 題
QA / QB = QX / QY = AX / BY = 1 / 2
QA = AB，QX = XY

在梯形 AXYB 中
XY^2 + (2 - 1)^2 = (2 + 1)^2
XY = 2√2
QX = 2√2，QA = AB = 3

設 CZ = r
在 △QCZ 中
QA / QC = AX / CZ
3 / (8 + r) = 1 / r
r = 4

YZ = √[(4 + 2)^2 - (4 - 2)^2] = 4√2

XZ = 2√2 + 4√2 = 6√2

請問老師67題選完以後不需要做排列嗎?

[thepiano]

第 67 題
題目的數字要遞增，所以選完數字，就只能由小到大排列

[wyogaw]

老師,不好意思,想請問一下78題.

[thepiano]

第 78 題
正方形左下角的頂點 A，右下角的頂點 B，右上角的頂點 C
左下角的小圓，圓心 E
作 EF 垂直 AB 於 F，EF = 1

設 AB = BC = x
AC = √2x，AE = (√2x - 6)/2
利用 AE/AC = EF/BC
可得 x = 3√2 + 2

所求 = x^2 = 22 + 12√2

[yellow0617]

了解了!謝謝老師~