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第 14 題 送分
111 香山高中
版主: thepiano
Re: 111 香山高中
第 15 題
m^2 - 4n 和 n^2 - 4m 都是完全平方數
(1) 當 m < 5，僅有 (m，n) = (4，4) 一解
(2) 當 m ≧ 5
m^2 - 4m - (m - 3)^2 = 2m - 9 > 0
m^2 - 4m > (m - 3)^2
不失一般性，設 m ≧ n
m^2 > m^2 - 4n ≧ m^2 - 4m > (m - 3)^2
(i) m^2 - 4n = (m - 1)^2
2m - 4n = 2(m - 2n) = 1，不合
(ii) m^2 - 4n = (m - 2)^2
m - n = 1
n^2 - 4m = n^2 - 4(n + 1) = (n - 2)^2 - 8 = t^2
(n + t - 2)(n - t - 2) = 8
n = 5，m = 6
故有 (m，n) = (6，5)、(5，6)、(4，4) 三解
m^2 - 4n 和 n^2 - 4m 都是完全平方數
(1) 當 m < 5，僅有 (m，n) = (4，4) 一解
(2) 當 m ≧ 5
m^2 - 4m - (m - 3)^2 = 2m - 9 > 0
m^2 - 4m > (m - 3)^2
不失一般性，設 m ≧ n
m^2 > m^2 - 4n ≧ m^2 - 4m > (m - 3)^2
(i) m^2 - 4n = (m - 1)^2
2m - 4n = 2(m - 2n) = 1，不合
(ii) m^2 - 4n = (m - 2)^2
m - n = 1
n^2 - 4m = n^2 - 4(n + 1) = (n - 2)^2 - 8 = t^2
(n + t - 2)(n - t - 2) = 8
n = 5，m = 6
故有 (m，n) = (6，5)、(5，6)、(4，4) 三解