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第 6 題
送分
第 11 題
答案有誤，應選 (C)
第 35 題
答案有誤，應選 (B)
111 新北市國中
版主: thepiano
111 新北市國中
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Re: 111 新北市國中
第 11 題
x + 2y + 3z = 4，平面法向量 (1，2，3)
3x + 2y = 1，平面法向量 (3，2，0)
若兩平面的夾角為 θ
cosθ = |1 * 3 + 2 * 2 + 3 * 0| / [√(1^2 + 2^2 + 3^2) * √(3^2 + 2^2 + 0^2)]
其餘作法一樣
夾角要最大，表示 cosθ 要最小
第 13 題
4x + 3y = a
3x + 6y = b
x = (2a - b)/5，y = (-3a + 4b)/15
x + y = (3a + b)/15 是整數，其中 a、b 是正整數
由於 2a + b 要最小，考慮以下幾組
a = 1，b = 12
a = 2，b = 9
a = 3，b = 6
a = 4，b = 3
第 25 題
拋物線的對稱軸是 x = 1
A(0，1) 關於 x 軸的對稱點是 A'(0，-1)
D(0，3) 關於 x = 1 的對稱點是 D'(2，3)
所求就是 A'D' 的長
其中 B 是 A'D' 和 x 軸的交點，C 是 A'D' 和 x = 1 的交點
第 26 題
令 x = 10^7
(x^3 + 111) = (x^2 - 5x + 24)(x + 5) + (x - 9)
m = 10^14 - 5 * 10^7 + 24 ≡ 24 (mod 100)
第 29 題
見圖
68/2 + 76/2 - 96/2 = 26
第 30 題
圓錐的側面積 = πrl = πr√(r^2 + h^2)
其中 r 是底面半徑，l 是側面展開後的扇形半徑，h 是圓錐的高
先假設 r = h = 1
剩下的就交給您了
第 33 題
x + ay = 2 + 4a
y = -(1/a)x + (4 + 2/a)
x^3 - 6x^2 + 15x - 10 = -(1/a)x + (4 + 2/a)
x^3 - 6x^2 + (15 + 1/a)x - (14 + 2/a) = 0
b_1、b_2、b_3 就是上列方程式的三根和
b_1 + b_2 + b_3 = 6
c_1 + c_2 + c_3 = -(1/a)(b_1 + b_2 + b_3) + 3(4 + 2/a) = 12
第 37 題
向量 AB 和向量 AC 的內積要最小
那兩向量的夾角要愈大愈好
故 A 取正方形對角線中點，B 和 C 取某條對角線的兩端點
最小值 = (7/2)√2 * (7/2)√2 * cosπ
x + 2y + 3z = 4，平面法向量 (1，2，3)
3x + 2y = 1，平面法向量 (3，2，0)
若兩平面的夾角為 θ
cosθ = |1 * 3 + 2 * 2 + 3 * 0| / [√(1^2 + 2^2 + 3^2) * √(3^2 + 2^2 + 0^2)]
其餘作法一樣
夾角要最大，表示 cosθ 要最小
第 13 題
4x + 3y = a
3x + 6y = b
x = (2a - b)/5，y = (-3a + 4b)/15
x + y = (3a + b)/15 是整數，其中 a、b 是正整數
由於 2a + b 要最小，考慮以下幾組
a = 1，b = 12
a = 2，b = 9
a = 3，b = 6
a = 4，b = 3
第 25 題
拋物線的對稱軸是 x = 1
A(0，1) 關於 x 軸的對稱點是 A'(0，-1)
D(0，3) 關於 x = 1 的對稱點是 D'(2，3)
所求就是 A'D' 的長
其中 B 是 A'D' 和 x 軸的交點，C 是 A'D' 和 x = 1 的交點
第 26 題
令 x = 10^7
(x^3 + 111) = (x^2 - 5x + 24)(x + 5) + (x - 9)
m = 10^14 - 5 * 10^7 + 24 ≡ 24 (mod 100)
第 29 題
見圖
68/2 + 76/2 - 96/2 = 26
第 30 題
圓錐的側面積 = πrl = πr√(r^2 + h^2)
其中 r 是底面半徑，l 是側面展開後的扇形半徑，h 是圓錐的高
先假設 r = h = 1
剩下的就交給您了
第 33 題
x + ay = 2 + 4a
y = -(1/a)x + (4 + 2/a)
x^3 - 6x^2 + 15x - 10 = -(1/a)x + (4 + 2/a)
x^3 - 6x^2 + (15 + 1/a)x - (14 + 2/a) = 0
b_1、b_2、b_3 就是上列方程式的三根和
b_1 + b_2 + b_3 = 6
c_1 + c_2 + c_3 = -(1/a)(b_1 + b_2 + b_3) + 3(4 + 2/a) = 12
第 37 題
向量 AB 和向量 AC 的內積要最小
那兩向量的夾角要愈大愈好
故 A 取正方形對角線中點，B 和 C 取某條對角線的兩端點
最小值 = (7/2)√2 * (7/2)√2 * cosπ
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Re: 111 新北市國中
第 30 題
(D) 選項
底面半徑 1，圓錐高 1
側面展開的扇形圓心角 = [1 / √(1^2 + 1^2)] * 2π
設新的高是 h
[1 / √(1^2 + h^2)] = [1 / √(1^2 + 1^2)] * (1/1.9)
h 約等於 2.5，跟選項 (A) 差不多
考這種選項就送它吧 ...
(D) 選項
底面半徑 1，圓錐高 1
側面展開的扇形圓心角 = [1 / √(1^2 + 1^2)] * 2π
設新的高是 h
[1 / √(1^2 + h^2)] = [1 / √(1^2 + 1^2)] * (1/1.9)
h 約等於 2.5，跟選項 (A) 差不多
考這種選項就送它吧 ...
Re: 111 新北市國中
第 7 題
(A) |x - 4| ≧ |x + 5|
數線上一點到 4 的距離 ≧ 到 -5 的距離
光負整數就無限多解了
(B) |13x - 2| ≧ |6x + 3|
光正整數就無限多解了
(C) |3x - 5| ≧ |8x - 2|
只有一整數解 0
(D) |14x + 9| ≧ |3x - 1|
光正整數就無限多解了
第 12 題
(√a + √b)^3 = a√a + 3a√b + 3(√a)b + b√b = 50 + 3 * 25 = 125
√a + √b = 5
......
第 14 題
r^2 = (8x - 101) / (2x + 1) = [(2x + 1) / (x + 2)]^2
解 x
第 23 題
C(0，t)
AC^2 / BC^2 = (1 + t^2) / ([1 + (t - 2)^2] = (t^2 + 1) / (t^2 - 4t + 5)
(t^2 + 1) / (t^2 - 4t + 5) = y
(y - 1)t^2 - 4yt + (5y - 1) = 0
利用判別式 ≧ 0，可得 y 的最大值
最後再開根號
第 38 題
logE_1 = 4.8 + 1.5 * 9.1
logE_2 = 4.8 + 1.5 * 7.3
logE_1 - logE_2 = 1.5 * (9.1 - 7.3)
log(E_1 / E_2) = 2.7
E_1 / E_2 = 10^2.7 = 10^2 * 10^0.7 ≒ 100 * 10^0.699 ≒ 100 * 5
第 40 題
兩點 (4，0) 和 (12，144) 所連成的直線 L，其方程式為 y = 18x - 72
y = 18x - 72 與 y = x^2 交於 (6，36) 和 (12，144)
y = 18x - 72 與 x 軸交於 (4，0)
所求 = ∫x^2dx (從 0 積到 6) - (1/2) * (6 - 4) * 36
(A) |x - 4| ≧ |x + 5|
數線上一點到 4 的距離 ≧ 到 -5 的距離
光負整數就無限多解了
(B) |13x - 2| ≧ |6x + 3|
光正整數就無限多解了
(C) |3x - 5| ≧ |8x - 2|
只有一整數解 0
(D) |14x + 9| ≧ |3x - 1|
光正整數就無限多解了
第 12 題
(√a + √b)^3 = a√a + 3a√b + 3(√a)b + b√b = 50 + 3 * 25 = 125
√a + √b = 5
......
第 14 題
r^2 = (8x - 101) / (2x + 1) = [(2x + 1) / (x + 2)]^2
解 x
第 23 題
C(0，t)
AC^2 / BC^2 = (1 + t^2) / ([1 + (t - 2)^2] = (t^2 + 1) / (t^2 - 4t + 5)
(t^2 + 1) / (t^2 - 4t + 5) = y
(y - 1)t^2 - 4yt + (5y - 1) = 0
利用判別式 ≧ 0，可得 y 的最大值
最後再開根號
第 38 題
logE_1 = 4.8 + 1.5 * 9.1
logE_2 = 4.8 + 1.5 * 7.3
logE_1 - logE_2 = 1.5 * (9.1 - 7.3)
log(E_1 / E_2) = 2.7
E_1 / E_2 = 10^2.7 = 10^2 * 10^0.7 ≒ 100 * 10^0.699 ≒ 100 * 5
第 40 題
兩點 (4，0) 和 (12，144) 所連成的直線 L，其方程式為 y = 18x - 72
y = 18x - 72 與 y = x^2 交於 (6，36) 和 (12，144)
y = 18x - 72 與 x 軸交於 (4，0)
所求 = ∫x^2dx (從 0 積到 6) - (1/2) * (6 - 4) * 36
Re: 111 新北市國中
第 21 題
甲、乙、丙、丁 每個人買 A 飾品，都有 "買" 和 "不買" 2 種方法
扣掉 4 人都沒買和 4 人都買 ( A 只有 3 件)，有 2^4 - 2 = 14 種方法
同理 4 人購買 B 飾品有 2^4 - 1 = 15 種方法
所求 = 14 * 15
第 40 題
畫完圖，您就會了
甲、乙、丙、丁 每個人買 A 飾品，都有 "買" 和 "不買" 2 種方法
扣掉 4 人都沒買和 4 人都買 ( A 只有 3 件)，有 2^4 - 2 = 14 種方法
同理 4 人購買 B 飾品有 2^4 - 1 = 15 種方法
所求 = 14 * 15
第 40 題
畫完圖，您就會了
Re: 111 新北市國中
第 1 題
題意是某二位數恰有 4 個質因數 (可重複)，且這 4 個質因數的 "和" 要最大
從小於 100 的合數開始考慮
有以下幾種
90 = 2 * 3 * 3 * 5，和是 2 + 3 + 3 + 5 = 13
88 = 2 * 2 * 2 * 11，和是 2 + 2 + 2 + 11 = 17
:
以下就不用找了，即使和有比 17 大的，這個二位數仍是最接近 89
第 8 題
任選兩點
長度是整數的有 1、2、3、4、5、6
長度是無理數的，會等於 √(a^2 + b^2)，可令 a ≦ b
a = 1，b = 1 ~ 6
a = 2，b = 2 ~ 6
a = 3，b = 3、5、6
a = 4，b = 4 ~ 6
a = 5，b = 5 ~ 6
a = 6，b = 6
(6 + 1) * 6 * (1/2) - 1 = 20
所求 = 6 + 20 = 26
題意是某二位數恰有 4 個質因數 (可重複)，且這 4 個質因數的 "和" 要最大
從小於 100 的合數開始考慮
有以下幾種
90 = 2 * 3 * 3 * 5，和是 2 + 3 + 3 + 5 = 13
88 = 2 * 2 * 2 * 11，和是 2 + 2 + 2 + 11 = 17
:
以下就不用找了，即使和有比 17 大的，這個二位數仍是最接近 89
第 8 題
任選兩點
長度是整數的有 1、2、3、4、5、6
長度是無理數的，會等於 √(a^2 + b^2)，可令 a ≦ b
a = 1，b = 1 ~ 6
a = 2，b = 2 ~ 6
a = 3，b = 3、5、6
a = 4，b = 4 ~ 6
a = 5，b = 5 ~ 6
a = 6，b = 6
(6 + 1) * 6 * (1/2) - 1 = 20
所求 = 6 + 20 = 26