111 臺中市國中

[thepiano]

請參考附件

第 47 題
答案有誤，應選 (D) 12 組

[lovecatbest63]

老師您好:想請教
1,2,3,4,9,10,13,15,17,21,23,24,25,28,29,35,36,38,39,40,43,44,46,49,50(約一半的題目QAQ)

同概念的題目可以講一題就好,若還是解不出來再二次發問~

麻煩老師了,謝謝您

[thepiano]

第 1 題
f(2h) - 2f(0) + f(-2h)
= 2hsin(2h) + e^(-2h) - 2 - 2hsin(-2h) + e^(2h)
= 4hsin(2h) + e^(2h) + e^(-2h) - 2

利用 L'Hospital's Rule
把 [4hsin(2h) + e^(2h) + e^(-2h) - 2] / h^2 上下微分兩次
......

第 2 題
x^2 + 3xy + y^2 + x - y = 10
把 y 視為 x 的函數，兩邊同時對 x 微分
2x + 3y + 3xy' + 2yy' + 1 - y' = 0
y' = - (2x + 3y + 1) / (3x + 2y - 1)
在點 (1， 2) 的切線斜率 = - (2 + 6 + 1) / (3 + 4 - 1) = - 3/2
......

第 3 題
微積分基本定理
f(x) = √[1 + (cosx)^4] * (cosx)' = √[1 + (cosx)^4] * (- sinx)
......

第 4 題
由比例試驗法
| {(x + 1)^(k + 1) / [(k + 1) * 2^(k + 1)]} / [(x + 1)^k / (k * 2^k)] |
= [k / 2(k + 1)] | x + 1 |
當 k → ∞，上式 → | x + 1 | / 2

當 | x + 1 | / 2 < 1，即 -3 ＜ x ＜ 1，冪級數收斂
而 x = -3，冪級數也收斂
......

第 9 題
a = (2 + √3)^(1/3)，b = (2 - √3)^(1/3)
a^3 - b^3 = 2√3，ab = 1
a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)
2√3 = x^3 + 3x
......

第 10 題
x = (1 - i) / (√3 - i)
x^2 = - i / (1 - √3i) = (√3 - i) / 4
x^4 = (1 - √3i) / 8
x^8 = (- 1 - √3i) / 32
x^10 = [(√3 - i) / 4][(- 1 - √3i) / 32]
......

第 13 題
logx + 2logy = 1
log(xy^2) = 1
xy^2 = 10
由算幾不等式
3x + 2y^2 ≧ 2√(3x * 2y^2)
......

第 17 題
z = x + yi
| z | ≦ 1，即 x^2 + y^2 ≦ 1，表一圓及其內部

| (z - 1)(z + 1/2) | = | (z - 1) | * | z - (-1/2) |，表點 (x，y) 到 (1，0) 和到 (-1/2，0) 的距離之乘積
易知有最大值時，該點在圓上，即 x^2 + y^2 = 1

α^2 = [(x - 1)^2 + y^2][(x + 1/2)^2 + y^2]
分別展開，然後用 x^2 + y^2 = 1 化簡成 (2 - 2x)(5/4 + x)
剩下就是二次函數的最大值了
......

第 21 題
f(x，y) = x^2 + y^2
對 x 偏微 = 2x，對 y 偏微 = 2y
所求 = (2，2)

第 23 題
黎曼和
所求 = ∫x^4dx (從 0 積到 1)
......

第 24 題
(cosx)^3 = (cosx)^2 * cos(x) = [ 1 - (sinx)^2] * cosx = cosx - (sinx)^2 * cosx
∫(cosx)^3dx (從 π 積到 s) = sins - (1/3)(sins)^3
再利用 L'Hospital's Rule，上下對 s 微分

第 25 題
x_1 = 1 + 1
x_2 = 1 + 1/4
x_3 = 1 + 1/9
:
:
當 k → ∞，x_k → 1+

第 28 題
sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - + ... + [(-1)^k * x^(2k + 1)] / (2k + 1)! + ...
沒有 x^18 這一項

第 29 題
(B) dy / dx = y
dy / y = dx
兩邊積分可得 lny = x + C_1
y = Ce^x = Σ(x^k / k!) ( k = 0 ~ ∞)

第 35 題
有兩列一樣，可消去一列，故 nullity 為 1

第 38 題
Y = X + 1
E(Y) = 3
E(Y^2) = 20

E(2Y - 3) = 3
E[(2Y - 3)^2] = E(4Y^2 - 12Y + 9) = 80 - 36 + 9 = 53

Var(2X - 1) = Var(2Y - 3) = E[(2Y - 3)^2] - [E(2Y - 3)]^2 = 53 - 9 = 44

第 39 題
請參考附件

第 40 題
同時擲兩個骰子，點數和為 5 的機率 = 1/9
E(X) = 9
......

第 43 題
x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3(x + 1/x)
2cosθ 代入就可看出答案

第 44 題
a + b = 4
a/3 + a/3 + a/3 + b = 4
用算幾不等式求 a^3 * b 的最大值

第 46 題
設公共根為 a
a^2 + ka + 1 = a^2 + a + k = 0
(k - 1)a = k - 1
當 k = 1，兩方程有 2 公共根，合
當 k ≠ 1，a = 1，k = - 2

第 49 題
y^2 - 4x^2 ≦ 0
(2x + y)(2x - y) ≧ 0
畫圖，為一個 X 的圖案，左右為可行區域

| x | ≦ 2
- 2 ≦ x ≦ 2
畫圖，為兩鉛直線，中間為可行區域

再計算所夾成的兩三角形面積

第 50 題
0 ＜ X ＜ 1 和 0 ＜ Y ＜ 1 是一個正方形，面積為 1

X + Y = a 和 X = 1 交於 (1，a - 1)，和 Y = 1 交於 (a - 1，1)

X + Y ＞ a 是正方形右上角的三角形區域，其面積 = (2 - a)^2 / 2

X + Y ≦ a 是正方形左下角的四邊形區域，其面積 = 1 - (2 - a)^2 / 2

所求 = [1 - (2 - a)^2 / 2] / 1

[lovecatbest63]

老師您好
想請教第46題答案(倒數第二行,「合」的後面還有字嗎 ?)
第 46 題
設公共根為 a
a^2 + ka + 1 = a^2 + a + k = 0
(k - 1)a = k - 1
當 k = 1，兩方程有 2 公共根，合???
當 k ≠ 1，a = 1，k = - 2

[thepiano]

第 46 題
k = 1 時，兩個方程式一樣，兩個根也一樣，符合 "至少有一公共根"

[eric6204]

請教老師，第30題、42題
33題怎麼分一點、一條線、一平面等
40題、怎麼算出E(x)=9
感謝老師

[thepiano]

第 30 題
f(x) = x + x^2 + (1/2)x^3 + ....
因為是微分三次後，x = 0 代進去，所以只有前三項會影響
而且前兩項微分三次後是 0，所求就是第三項微分三次


第 33 題
m 列 n 行的矩陣，若其秩為 r
則其零空間的維度 = n - r

此題的矩陣是 2 列 3 行
其秩 = 2
零空間的維度 = 3 - 2 = 1，故為直線


第 40 題
同時投擲兩枚公正的六面骰子，出現點數和為 5 的機率是 1/9
故 E(X) = 9


第 42 題
請參考附件

[eric6204]

感謝老師，請問老師
第40題我的E(X)的算式點數和為2點~12點的期望值總和
E(X)＝2*1/36+3*2/36+4*3/36+5*4/36+6*5/36+7*6/36+8*5/36+9*4/36+10*3/36+11*2/36+12*1/36＝７(不知道是哪裡算錯了呢？)

另外再請教老師45有速算嗎？(我是直接應算)~47、48要怎麼算？
感謝老師

[thepiano]

第 40 題
題目要的是第一次出現點數和為 5 的期望次數
您算的是投擲一次出現點數和的期望值


第 45 題
原式 = {[(3^2)^5 - 1] / (3^2 - 1)} / [(3^5 - 1) / (3 - 1)] = (3^5 + 1) / (3 + 1)


第 47 題
|ab| + |a + b| = 5
ab = 5，a + b = 0，無整數解
ab = 4，a + b = 1 or -1，無整數解
ab = 3，a + b = 2 or -2，無整數解
ab = 2，a + b = 3 or -3，(a，b) = (1，2)、(2，1)、(-1，-2)、(-2，-1)
ab = 1，a + b = 4 or -4，無整數解
ab = 0，a + b = 5 or -5，(a，b) = (0，5)、(5，0)、(0，-5)、(-5，0)
ab = -1，a + b = 4 or -4，無整數解
ab = -2，a + b = 3 or -3，無整數解
ab = -3，a + b = 2 or -2，(a，b) = (1，-3)、(-3，1)、(-1，3)、(3，-1)
ab = -4，a + b = 1 or -1，無整數解
ab = -5，a + b = 0，無整數解

答案應選 (D) 12 組


第 48 題
d | a_i
令 a_i = b_i * d
a_1 + a_2 + ... + a_50 = 1504
(b_1 + b_2 + ... + b_50)d = 1504
50 ＜ b_1 + b_2 + ... + b_50 = 1504 / d
d ≦ 30

1504 = 2^5 * 47
d 的最大值為 2^4 = 16

[p26131]

您好，想請教第15題該如何計算？