考古題集

[八神庵]

新路上手,找了好久才找到這個地方
在此先感謝各位不吝指教!!
1.試作y=1/[(2x^2-1)^2]之圖形(96家齊二招)
2.在坐標平面上,將方程式(x^2)/25+(y^2)/9=1的圖形,繞著點(1,2)逆時針旋轉90度後的圖形 Γ方程式為何?並求 Γ的焦點(98龍潭農工)
3.平面上有一拋物線Γ:y=(x^2)+2及一直線L:y=x,P(2,3),已知A和B分別是拋物線 Γ及直線L上的動點,試求PA線段+PB線段的最小值及B點坐標
4,a+b+c=1,a,b,c皆為正數,求1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)的最小值
5.在三角形ABC所在平面的同側取三點D,E,F使得D,E,F分別在A,B,C的正上方且AD線段=4,BE線段=5,CF線段=6,若三角形ABC與三角形DEF的重心分別為G,H,求GH線段的長
6.L為平面x-y+z=0與2x+y+z=0的交線,若L與x軸的角平分線為x=ay=bz,求(a,b)(以上均為96新港藝高)

[azse0319]

先作一下第四題好了....

由科西不等式可知
{(a+b)+(b+c)+(c+a)} {1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)} >=(1+1+1)^2

2 {1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)} >= 9

{1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)} >= 9/2

[thepiano]

第 1 題
因為對稱，考慮 x ≧ 0 之情況即可
易知 x ≠ √2 / 2

(1) x = 0，y = 1

(2) 0 ＜ x ＜ √2 / 2，遞增至趨近無窮大

(3) x ＞ √2 / 2，遞減至趨近於 0


第 3 題
易知 PB 最小值 = P 到直線 y = x 之距離

令 A 之坐標為 (x，x^2 + 2)
PA = √[(x - 2)^2 + (x^2 + 2 - 3)^2] = √(x^4 - x^2 - 4x + 5)
要求出 PA 之最小值，需解 4x^3 - 2x - 4 = 0 之 實根，這沒什麼
不過解出來還要代回去就不好玩了

應該是題目出錯了......


第 5 題
其實想像一下兩平面的關係，可知 GH = (4 + 5 + 6) / 3

不然，定座標也可以很快求出答案
A(0，0，0)，B(p，0，0)，C(q，r，0)
D(0，0，4)，E(p，0，5)，F(q，r，6)

[thepiano]

新路上手,找了好久才找到這個地方

去 http://math.pro/db 朝聖過了嗎？

[八神庵]

就是從那邊轉聯結過來的
我個人認為兩邊都看比較好....

[HB13256]

6.L為平面x-y+z=0與2x+y+z=0的交線,若L與x軸的角平分線為x=ay=bz,求(a,b)

L ：向量n1=(-2,1,3) |n1|=√14
X軸：向量n2=(1,0,0) |n2|=1

角平分線向量 ＝ (-2,1,3) ± √14*（1,0,0） 若兩向量長度相等時，相加即為角平分線向量
＝ (-2±√14 ,1,3)
＝ (1,1/(-2±√14),3/(-2±√14))

(a,b)=( -2+√14 , (-2+√14)/3 ) 或　( -2-√14 , (-2-√14)/3 )