112 桃園市聯招

[thepiano]

請參考附件

[thepiano]

第 11 題
官方答案有誤，應是第 67 個
1 ~ 999 有 H(3，7) = 36 個
1000 ~ 1999 有 H(3，6) = 28 個
2000 ~ 2023 有 2005、2014、2023 這 3 個
所求是第 36 + 28 + 3 = 67 個

[thepiano]

第 12 題
先計算小於 2000 的有幾個

設此數為 abcd，其中 a，b，c 是 0 到 9 的整數，d 是 0 到 9 的偶數，且不全為 0
(1) d = 0
(i) a = 0，b + c = 6，12，18，有 7 + 7 + 1 = 15 種情形
(ii) a = 1，b + c = 5，11，17，有 6 + 8 + 2 = 16 種情形
計 31 種情形

(2) d = 2
(i) a = 0，b + c = 4，10，16，有 5 + 9 + 3 = 17 種情形
(ii) a = 1，b + c = 3，9，15，有 4 + 10 + 4 = 18 種情形
計 35 種情形

(3) d = 4
(i) a = 0，b + c = 2，8，14，有 3 + 9 + 5 = 17 種情形
(ii) a = 1，b + c = 1，7，13，有 2 + 8 + 6 = 16 種情形
計 33 種情形

(4) d = 6
同 (1)，但多 1 種 b + c = 0 的情形，有 32 種情形

(5) d = 8
同 (2)，有 35 種情形

2000 以上的有 2004 和 2022 這 2 個

所求 = 31 + 35 + 33 + 32 + 35 + 2 = 168 個

[thepiano]

填充第 1 題
令 |z| = k
k(3z + 2i) = 2(iz - 6)
z = (-12 - 2ki) / (3k - 2i)
k^2 = |z|^2 = (144 + 4k^2) / (9k^2 + 4)
|z| = k = 2

[lovejade]

想請教一下填充第5題，謝謝

[thepiano]

第 5 題
b_1 = a_1 + a_2
b_2 = a_3 + a_4
b_3 = a_5 + a_6
b_4 = a_7 + a_8
:
:
易知b_n 亦是等比數列，令其公比為 x，x > 1
a_3 + a_4 - a_2 - a_1 = b_1x - b_1 = 8
b_1 = 8/(x - 1)

a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = b_1(x^2 + x^3) = 8(x^2 + x^3)/(x - 1)

微分可知 x = (1 + √5)/2 時，8(x^2 + x^3)/(x - 1) 有最小值 44 + 20√5

[lovejade]

謝謝老師回覆

[godofsongx7]

請問第3題的最小值和第4題，謝謝

[thepiano]

第 3 題
底數 a 省略
令 logx = p，logy = q >= 1
p^2 + q^2 - 2(p + q) <= 2
(p - 1)^2 + (q - 1)^2 <= 2^2
把實心半圓畫出來，可知 -1 <= p <= 3，1 <= q <= 3
所求 2p + q 的最小值 = -2 + 1 = -1


第 4 題
每個人有 4 種結果
利用排容
4^6 - C(3，1) * 3^6 + C(3，2) * 2^6 - C(3，3)

[godofsongx7]

謝謝老師解惑，感謝