111 張進通許世賢國中數學競試

[LS0722]

各位老師好，想請教一下三個題目的作法，謝謝！
1.填充題6
2.填充題11
3.計算證明題2(3)

[thepiano]

填充第 6 題
分 C = 1、2、3 去討論

(1) C = 1
先兩邊平方
4√3 - 3√5 = √A + √B - 2(AB)^(1/4)
4√3 - (2025)^(1/4) = √A + √B - (16AB)^(1/4)
2025 ≠ 16AB
故 C ≠ 1

(2) C = 2
16√3 - 12√5 = √A + √B - 2(AB)^(1/4)
16√3 - (2^8 * 3^4 * 5^2)^(1/4) = √A + √B - (16AB)^(1/4)
AB = 2^4 * 3^4 * 5^2

16√3 = 10√3 + 6√3 = √A + √B
A = 300，B = 108

(3) C = 3
同 (1) 不成立


填充第 11 題
(8 - 5ab) / c
≧ [8 - 5 * (a^2 + b^2)/2] / c
= [8 - 5 * (1 - c^2)/2] / c
= (5c^2 + 11) / (2c)
= 5c/2 + 11/(2c)
≧ √55

等號成立於 5c^2 = 11，此時 c > 1，與 a^2 + b^2 + c^2 = 1 不合
這題題目出錯了


計算第 2_(3) 題
EC = DC = b
DB = EA = a，DE = 1 - 2a
利用第 (2) 小題的結論，可得
b^2 = b * 1 - a(1 - 2a) = b + 2a^2 - a

作 CF 垂直 DE 於 F
CF = √3/2，DF = 1/2 - a
b^2 = (√3/2)^2 + (1/2 - a)^2 = a^2 - a + 1

b + 2a^2 - a = a^2 - a + 1
b = 1 - a^2

(1 - a^2)^2 = a^2 - a + 1
a(a^3 - 3a + 1) = 0
a ≠ 0，a^3 - 3a + 1 = 0
a^3 + 1 = 3a
a^2 + 1/a = 3

1/a - b = 1/a + a^2 - 1 = 2

[LS0722]

感謝鋼琴老師解惑，懂了!